| # Društvo matematikov, fizikov |
|
|
| in astronomov Slovenije |
|
|
| Jadranska ulica 19 |
|
|
| 1000 Ljubljana |
|
|
| ## Tekmovalne naloge DMFA Slovenije |
|
|
| Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije dovoljuje shranitev $v$ elektronski obliki, natis in uporabo gradiva $v$ tem dokumentu za lastne potrebe učenca/dijaka/študenta in za potrebe priprav na tekmovanje na šoli, ki jo učenec/dijak/študent obiskuje. Vsakršno drugačno reproduciranje ali distribuiranje gradiva $v$ tem dokumentu, vključno $s$ tiskanjem, kopiranjem ali shranitvijo v elektronski obliki je prepovedano. |
|
|
| Še posebej poudarjamo, da dokumenta ni dovoljeno javno objavljati na drugih spletnih straneh (razen na www.dmfa.si), dovoljeno pa je dokument hraniti na npr. spletnih učilnicah šole, če dokument ni javno dostopen. |
|
|
| ## dMFA |
|
|
| ## 11. tekmovanje v znanju matematike <br> za dijake poklicnih šol <br> Državno tekmovanje, 16. april 2011 |
|
|
| Čas reševanja: 90 minut. V sklopu A bo pravilen odgovor ovrednoten z dvema točkama, medtem ko bomo za nepravilen odgovor pol točke odšteli. Naloge v sklopu B so vredne po 7 točk. Odgovore sklopa A vpišite v levo tabelo. |
|
|
| | A1 | A2 | A3 | A4 | A5 | A6 | |
| | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | |
| | | | | | | | |
|
|
|  |
|
|
| A1 Jana se odpravi iz šole z rolerji. Najprej rola $3 \mathrm{~km}$ proti zahodu, nato $1 \mathrm{~km}$ proti jugu, $3 \mathrm{~km}$ proti vzhodu in $1 \mathrm{~km}$ proti jugu. Kako daleč in v katero smer se mora odpraviti, da pride po najkrajši poti nazaj v šolo? |
| (A) $2 \mathrm{~km}$ proti severu |
| (B) $2 \mathrm{~km}$ proti jugu |
| (C) $2 \mathrm{~m}$ proti vzhodu |
| (D) $2 \mathrm{~km}$ proti zahodu |
| (E) Ni mogoče določiti. |
|
|
|  |
|
|
| A2 V kinu so v zadnji vrsti še trije prosti sedeži. Na koliko različnih načinov se lahko posedejo trije prijatelji? |
| (A) 1 |
| (B) 2 |
| (C) 3 |
| (D) 4 |
| (E) 6 |
|
|
| A3 Katera enačba lahko predstavlja odvisnost med spremenljivkama $x$ in $y \mathrm{v}$ tabeli? |
| (A) $y=x+0,5$ |
| (B) $y=2 x-0,5$ |
| (C) $y=0,5 x+1$ |
| (D) $y=1,5 x$ |
| (E) $y=x^{2}+0,5$ |
|
|
| | $x$ | $y$ | |
| | :---: | :---: | |
| | 1 | 1,5 | |
| | 2 | 3 | |
| | 3 | 4,5 | |
| | 4 | 6 | |
|
|
| A4 Na planetu Vegas računajo z znaki. Pravila za računske operacije so enaka kot v Sloveniji. Učitelj je napisal na tablo izraz $(\exists+U)^{2}$. Kateri rezultat je pravilen? |
| (A) $\exists^{2}+\bigcup^{2}$ |
| (B) $\exists^{2}-\cup^{2}$ |
| (C) $\exists^{2}+2 \exists \cup-U^{2}$ |
| (D) $\exists^{2}+2 \exists \cup+\cup^{2}$ |
| (E) $\exists^{2}-2 \exists \cup+\cup^{2}$ |
|
|
| A5 Pri gorskem kolesu smo izbrali tako prestavo, da velja: veliko zobato kolo se zavrti šestkrat, ko se malo zavrti petnajstkrat. Kolikokrat se mora zavrteti veliko zobato kolo, da se malo zavrti $100-\mathrm{krat}$ ? |
| (A) 30 |
| (B) 35 |
| (C) 40 |
| (D) 45 |
| (E) 50 |
|
|
| A6 V raziskavi o najljubši jutranji pijači je sodelovalo 60 ljudi. Frekvenčni kolač prikazuje izsledke raziskave: Koliko več ljudi pije čaj kot mleko? |
| (A) 9 |
| (B) 12 |
| (C) 15 |
| (D) 21 |
| (E) 35 |
|  |
|
|
| B1 Matej trenira triatlon. Spodnji grafikon prikazuje njegov tedenski trening. |
|
|
|  |
|
|
| A Koliko km je Matej v prikazanem času pretekel in koliko preplaval? |
|
|
| B Koliko km je prekolesaril, če je kolesaril s povprečno hitrostjo $25 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$ ? |
|
|
| C Izračunajte povprečni čas treninga na dan. Upoštevajte, da Matej preteče $1 \mathrm{~km}$ v povprečju v $4,5 \mathrm{~min}$, v $13 \mathrm{~min}$ pa preplava $750 \mathrm{~m}$. Rezultate zaokrožite na minuto natančno. |
|
|
| B2 V trgovini imajo tri akvarije v obliki kvadrov, vse z enako prostornino. Nekatere notranje mere akvarijev prikazuje tabela. |
|
|
| | | dolžina | širina | višina | |
| | :---: | :---: | :---: | :---: | |
| | 1. akvarij | $4 d m$ | $6 d m$ | $0,5 \mathrm{~m}$ | |
| | 2. akvarij | $2 d m$ | $10 d m$ | | |
| | 3. akvarij | | | | |
|
|
| A Največ koliko litrov vode lahko nalijemo v vsak akvarij? |
|
|
| B Kolikšna je notranja višina 2. akvarija? |
|
|
| C Tretji akvarij ima obliko kocke. Na milimeter natančno določite zunanjo dolžino dna akvarija, če je steklo debelo $6 \mathrm{~mm}$ ! |
|
|
| D V prvem akvariju so $75 \%$ prostornine napolnili $\mathrm{z}$ vodo. Do katere višine sega voda $\mathrm{v}$ akvariju? |
|
|
| E Na največ koliko različnih načinov lahko vse tri akvarije razstavijo v vrsto na polico, če je akvarij v obliki kocke na prvem mestu z leve ali z desne? |
|
|
| F Če prazen akvarij polnimo s petimi enakimi izviri, se napolni v 1,2 minute. V kolikem času se bo prazen akvarij napolnil, če ga polnimo le z dvema izviroma? |
|
|
| B3 Dan je trikotnik $\triangle A B C$ (glej sliko), pri čemer je $z=4 \mathrm{~cm}$. |
|
|
|  |
|
|
| A Koliko je vseh trikotnikov na sliki? |
|
|
| B Kako se glede na dolžine stranic imenuje trikotnik $\triangle E B C$ ? |
|
|
| C Kako se glede na dolžine stranic imenuje trikotnik $\triangle D E C$ ? |
|
|
| D Izračunajte ploščino trikotnika $\triangle A B C$ ! Rezultat zaokrožite na cm ${ }^{2}$ natančno. |
|
|
| B4 Vrtnarji bodo v središču mesta uredili gredico rož. Gredica je kvadratne oblike s stranico dolžine 4 metre. Odločili so se, da se bodo poigrali z zasaditvijo tulipanov. Na osenčeni del bodo zasadili čebulice rdečih tulipanov, na neosenčeni del pa čebulice belih tulipanov (glej sliko). |
|
|
|  |
|
|
| A Izračunajte ploščino osenčenega in ploščino neosenčenega dela gredice na $\mathrm{cm}^{2}$ natančno. |
|
|
| B V vrtnariji pakirajo čebulice tulipanov v večje in manjše vrečke. V večji vrečki po ceni 13 EUR je 10 čebulic rdečih in 20 čebulic belih tulipanov. Cena manjše vrečke je 3 EUR, v njej pa je 5 čebulic rdečih in 3 čebulice belih tulipanov. Kolikšna je cena posamezne čebulice rdečega tulipana in kolikšna posamezne čebulice belega tulipana? |
|
|
| C Kako dolga bi bila nova povečana kvadratna gredica, če bi vrtnarji za en korak nadaljevali narisan vzorec? |
|
|
| ## 11. tekmovanje v znanju matematike <br> za dijake poklicnih šol <br> Državno tekmovanje, 16. april 2011 |
|
|
| ## Rešitve nalog in točkovnik |
|
|
| Tekmovalec, ki je prišel po katerikoli pravilni metodi do rešitve (četudi točkovnik take ne predvideva), dobi vse možne točke. |
|
|
| Za pravilno metodo se upošteva vsak postopek, ki |
|
|
| - smiselno upošteva besedilo naloge, |
| - vodi $\mathrm{k}$ rešitvi problema, |
| - je matematično pravilen in popoln. |
|
|
| $V$ tabeli so zapisani pravilni odgovori izbirnih nalog. Vsak pravilen odgovor točkujemo z 2 točkama, nepravilen $z-0.5$ točke, če naloga ni rešena, 0 točk. Da bi se izognili morebitnemu negativnemu končпети dosežku, se vsakemu tekmovalcu prizna začetne 3 točke. |
|
|
| | A1 | A2 | A3 | A4 | A5 | A6 | |
| | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | |
| | A | E | D | D | C | B | |
|
|
| A1 V mreži si narišemo začetno točko. Iz te točke 3 enote levo, 1 enoto dol, 3 enote desno in 1 enoto dol v končno točko. Iz končne v začetno točko pridemo za 2 enoti gor oz. $2 \mathrm{~km}$ severno. |
|
|
| A2 Prvi prijatelj izbira med 3 sedeži, drugi med dvema in tretjemu ostane še en sedež. Torej $3 \cdot 2 \cdot 1=6$ možnosti. |
|
|
| A3 Vse točke iz tabele: $(1,1.5),(2,3),(3,4.5)$ in $(4,6)$ pripadajo le premici $y=1.5 x$. |
|
|
| A4 $\operatorname{Izraz}(\exists+U)^{2}$ kvadriramo po pravilu $(\exists+U)^{2}=\exists^{2}+2 \exists U+U^{2}$. |
|
|
| A5 Frekvenci vrtenja velikega in malega kolesa sta v premem sorazmerju. Koeficient za malo kolo je $\frac{100}{15}=\frac{20}{3}$, zato je frekvenca vrtenja velikega kolesa $6 \cdot \frac{20}{3}=40$. |
|
|
| A6 Čaj pije $35 \%$ od $60=21$ ljudi. Mleko pije $15 \%$ od $60=9$ ljudi. 12 ljudi več pije čaj kot mleko. |
|
|
| ## DALJŠE NALOGE |
|
|
| B1 Matejev trening tekanja in plavanja prikazuje tabela: |
|
|
| | | PON | TOR | SRE | ČET | PET | SOB | NED | Skupaj | |
| | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | |
| | tek[km] | 10 | 12 | 0 | 8 | 13 | 0 | 0 | $43 \mathrm{~km}$ | |
| | plavanje[km] | 2 | 2.5 | 3.5 | 3 | 2 | 0 | 4 | $17 \mathrm{~km}$ | |
|
|
| Kolesaril je v sredo $2.5 h$ in v soboto $3.5 h$, to je $6 h$ v prikazanem tednu. Prekolesaril je pot $s=\bar{v} \cdot t=25 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}} \cdot 6 \mathrm{~h}=150 \mathrm{~km}$. |
|
|
| Čas, ki ga je Matej porabil za tek: $\frac{43 \mathrm{~km}}{1 \mathrm{~km}} \cdot 4.5 \mathrm{~min}=193.5 \mathrm{~min} \approx 194 \mathrm{~min}$. Čas, ki ga je Matej porabil za plavanje: $\frac{17 \mathrm{~km}}{0.75 \mathrm{~km}} \cdot 13 \mathrm{~min} \approx 295 \mathrm{~min}$. Kolesaril je $6 h=360$ min. |
|
|
| Povprečni čas treninga na dan $\bar{t}=\frac{194 \min +295 \min +360 \mathrm{~min}}{7} \approx 121 \mathrm{~min}$. |
|
|
| A Matej je preplaval $17 \mathrm{~km} . \ldots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .$. |
|
|
|  |
|
|
|  |
|
|
|  |
|
|
| Čas, ki ga je porabil za plavanje: 295 min................................................. 1 t |
|
|
| Povprečni čas treninga na dan: $121 \mathrm{~min} \ldots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2$ t |
|
|
| Op.: Če rezultati niso zaokroženi na minuto natančno, tekmovalcu odštejemo 1 točko. |
|
|
| B2 Vsak akvarij drži $V=4 \mathrm{dm} \cdot 6 \mathrm{dm} \cdot 5 \mathrm{dm}=120 \mathrm{l}$. Prostornina drugega akvarija je $120 \mathrm{dm}^{3}$. Iz enačbe $120 \mathrm{dm}^{3}=2 \mathrm{dm} \cdot 10 \mathrm{dm} \cdot v$ izračunamo višino $v=6 \mathrm{dm}$. |
|
|
| Iz enačbe za prostornino kocke $120 \mathrm{dm}^{3}=a^{3}$ izračunamo notranji rob $a=4.93 \mathrm{dm}$. Upoštevamo debelino stekla $6 \mathrm{~mm}$, pa je zunanji rob akvarija $4.93 \mathrm{dm}+2 \cdot 0.06 \mathrm{dm}=5.05 \mathrm{dm}$. $75 \%$ vode od $120 l=90 l$. Iz enačbe za prostornino akvarija $90 l=4 \mathrm{dm} \cdot 6 \mathrm{dm} \cdot v$ izračunamo višino akvarija $v=3.75 \mathrm{dm}$. |
|
|
| Če je kockast akvarij na prvem mestu z leve, se ostala dva lahko razvrščata na 2 načina. Če je kockast akvarij na prvem mestu z desne, to pomeni še dva različna načina. Skupaj se lahko razvrstijo na 4 različne načine. |
|
|
| Če polnijo akvarij z enim izvirom, se polni $1,2 \mathrm{~min} \cdot 5=6 \mathrm{~min}$. Ko ga polnimo z dvema izviroma, pa je čas dvakrat krajši, to je 3 min. |
|
|
| A Ugotovitev: Prostornina vsakega akvarija je 120 l....................................... 1 t |
|
|
|  |
|
|
| C Dolžina zunanjega roba je $5.05 \mathrm{dm}$. ....................................................... 2 t |
|
|
|  |
|
|
| E Razvrstimo jih lahko na največ 4 načine. ................................................. 1 t |
|
|
|  |
|
|
| B3 Na sliki je 6 trikotnikov: $\triangle A B C, \triangle A E C, \triangle D B C, \triangle A D C, \triangle D E C, \triangle E B C$. Trikotnik $\triangle E B C$ je enakokrak in enakostranični, trikotnik $\triangle D E C$ pa enakokraki. Ploščino trikotnika $\triangle A B C$ izračunamo po formuli $S_{\triangle}=\frac{\overline{A B} \cdot v_{\triangle A B C}}{2}$, kjer je $\overline{A B}=3 z=12 \mathrm{~cm}$ in $v_{\triangle A B C}=v_{\triangle E B C}=$ $\frac{z \sqrt{3}}{2}=\frac{4 \sqrt{3}}{2}=2 \sqrt{3} \mathrm{~cm}$. Ploščina trikotnika $\triangle A B C$ je $S_{\triangle A B C}=\frac{\overline{A B \cdot v} \cdot \mathrm{v}_{\triangle A B C}}{2}=\frac{12 \mathrm{~cm} \cdot 2 \sqrt{3} \mathrm{~cm}}{2}=$ $12 \sqrt{3} \mathrm{~cm}^{2} \approx 21 \mathrm{~cm}^{2}$. |
|
|
|  |
|
|
| B Trikotnik $\triangle E B C$ je enakokraki in enakostranični. ................................ $1 \mathbf{t}$ |
|
|
| C Trikotnik $\triangle D E C$ je enakokraki. . ..................................................... $1 \mathbf{t}$ |
|
|
|  |
|
|
| Določitev višine trikotnika $\triangle A B C: 2 \sqrt{3} \mathrm{~cm} \approx 3.5 \mathrm{~cm} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \ldots \mathbf{1 t}$ |
|
|
| Izračun ploščine trikotnika $\triangle A B C: 21 \mathrm{~cm}^{2} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \ldots \mathbf{t}$ |
|
|
| Op.: Če ploščina ni zaokrožena na $\mathrm{cm}^{2}$, tekmovalcu odštejemo 1 točko. |
|
|
| B4 Osenčeni del gredice lahko sestavimo v dva kroga s polmerom $0,5 \mathrm{~m}$ in dva kroga s polmerom $1 \mathrm{~m}$. Ploščina osenčenega dela, ki so ga zasadili s čebulicami rdečih tulipanov, je enaka vsoti ploščin dveh večjih in dveh manjših krogov: $S=2 \pi(0.5 \mathrm{~m})^{2}+2 \pi(1 \mathrm{~m})^{2}=7.85 \mathrm{~m}^{2}$. Celotna gredica je kvadratne oblike s ploščino $(4 \mathrm{~m})^{2}=16 \mathrm{~m}^{2}$. Ploščina neosenčenega dela gredice, zasajenega s čebulicami belih tulipanov, je $16 \mathrm{~m}^{2}-7.85 \mathrm{~m}^{2}=8.15 \mathrm{~m}^{2}$. |
|
|
| $\mathrm{Z} x$ označimo ceno čebulice za rdeč, $\mathrm{z} y$ pa za beli tulipan. Po besedilu nastavimo sistem enačb: |
|
|
| $$ |
| \begin{gathered} |
| 10 x+20 y=13 \\ |
| 5 x+3 y=3 |
| \end{gathered} |
| $$ |
|
|
| Od tod izračunamo, da je $x=0.3$ EUR in $y=0.5$ EUR. |
|
|
| Če bi vrtnarji nadaljevali narisani vzorec za 1 korak, bi bila gredica dolga $8 \mathrm{~m}$. |
|
|
|  |
|
|
|  |
|
|
|  |
|
|
| Cena čebulice belega tulipana je 0.5 EUR. ................................................. 1 t |
|
|
| C Dolžina nove gredice bi bila $8 \mathrm{~m}$............................................................ 1 t |
|
|
|
|
