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Lista 8

1. Fração de fração - Qual o valor de $1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{2}}}$ ?
2. Potências de 3 - Se $3^{n}=2$ então quanto vale $27^{2 n}$ ?
3. Aumento de preço - Se o preço de um produto subiu de $R $ 5,00$ para $R $ 5,55$, qual foi a taxa percentual de aumento?
4. Roseiras em fila - Jorge ganhou 15 roseiras para seu jardim, com a condição de plantá-las em 6 filas de 5 roseiras cada uma. Isso é possível? Em caso afirmativo faça um desenho indicando para Jorge como plantar as roseiras.
5. Calculadora diferente - Uma fábrica produziu uma calculadora original que efetua duas operações:

• a adição usual +
• a operação $\circledast$

Sabemos que para todo número natural $a$ tem-se:

$$\text{ (i) }a⊛a=a\text{ e (ii) }a⊛0=2a\backslash text\; \{\; (i)\; \}\; a\; \backslash circledast\; a=a\; \backslash quad\; \backslash text\; \{\; e\; (ii)\; \}\; a\; \backslash circledast\; 0=2\; a$$

e, para quaisquer quatro naturais $a, b, c$ e $d$

$$\text{ (iii) }(a⊛b)+(c⊛d)=(a+c)⊛(b+d)\text{. }\backslash text\; \{\; (iii)\; \}(a\; \backslash circledast\; b)+(c\; \backslash circledast\; d)=(a+c)\; \backslash circledast(b+d)\; \backslash text\; \{.\; \}$$

Quais são os resultados das operações $(2+3) \circledast(0+3)$ e $1024 \circledast 48$ ?

6. Dois quadrados - Na figura ao lado, a área do quadrado maior é $10 \mathrm{cm}^{2}$ e do menor é $4 \mathrm{cm}^{2}$. As diagonais do quadrado maior contém as diagonais do quadrado menor. Quanto mede a área da região tracejada?

7. Paralelismo- Sendo $I L$ paralela à $E U$ e $R E$ paralela à $N I$, determine $\frac{F N \times F U}{F R \times F L}$.

8. Um subconjunto - O conjunto ${1,2,3, \ldots, 3000}$ contém um subconjunto de 2000 elementos tal que nenhum elemento é o dobro do outro?
9. Triângulos retângulos - Dada a figura com as marcas, determine $v, w, x, y$ e $z$.

10. Uma desigualdade especial- Quais valores de $x$ satisfazem $x^{2}<|x|+2$ ? (a) $x<-1$ ou $x>1$ (b) $x>1$ (c) $-2<x<2$ (d) $x<-2$ (e) $x<0$

Soluções da Lista 8

1. Fração de fração - Temos:

$$1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{2}}}=1+\frac{1}{1+\frac{1}{\frac{3}{2}}}=1+\frac{1}{1+\frac{2}{3}}=1+\frac{1}{\frac{5}{3}}=1+\frac{3}{5}=\frac{8}{5}1+\backslash frac\{1\}\{1+\backslash frac\{1\}\{1+\backslash frac\{1\}\{2\}\}\}=1+\backslash frac\{1\}\{1+\backslash frac\{1\}\{\backslash frac\{3\}\{2\}\}\}=1+\backslash frac\{1\}\{1+\backslash frac\{2\}\{3\}\}=1+\backslash frac\{1\}\{\backslash frac\{5\}\{3\}\}=1+\backslash frac\{3\}\{5\}=\backslash frac\{8\}\{5\}$$

2. Potências de 3 - Temos: $27^{2 n}=\left(3^{3}\right)^{2 n}=3^{6 n}=\left(3^{n}\right)^{6}=2^{6}=64$.
3. Aumento de preço - O aumento em reais foi $5,55-5=0,55$; então o percentual de aumento foi

$$\frac{0,55}{5}=\frac{0,55\times 20}{5\times 20}=\frac{11}{100}=11\mathrm{\%}\backslash frac\{0,55\}\{5\}=\backslash frac\{0,55\; \backslash times\; 20\}\{5\; \backslash times\; 20\}=\backslash frac\{11\}\{100\}=11\; \backslash \%$$

4. Roseiras em fila - É possível plantar as roseiras em 6 filas de 5 roseiras cada uma, conforme mostra o desenho a seguir .

5. Calculadora diferente - Para calcular $(2+3) \circledast(0+3)$ utilizaremos a propriedade (iii), e temos:

$$(2+3)⊛(0+3)=(2⊛0)+(3⊛3)(2+3)\; \backslash circledast(0+3)=(2\; \backslash circledast\; 0)+(3\; \backslash circledast\; 3)$$

Agora, por (i) temos $2 \circledast 0=2 \times 2=4$, e por (ii) temos $3 \circledast 3=3$. Portanto,

$$(2+3)⊛(0+3)=4+3=7(2+3)\; \backslash circledast(0+3)=4+3=7$$

Agora, para calcular $1024 \circledast 48$ vamos usar a mesma estratégia que acima. Para isso, note que $1024=976+48$ e $48=0+48$.

6. Dois quadrados - Observemos que a área do quadrado maior menos a área do quadrado menor é igual a 4 vezes a área procurada. Logo a área tracejada é

$$\frac{{10}^2-4^2}{4}=\frac{100-16}{4}=25-4=21\backslash frac\{10^\{2\}-4^\{2\}\}\{4\}=\backslash frac\{100-16\}\{4\}=25-4=21$$

7. Paralelismo- Dado que $I L$ e $E U$ são paralelas então $\frac{F U}{F L}=\frac{F E}{F I}$. Analogamente, como $R E$ é paralela a $N I$ temos que $\frac{F N}{F R}=\frac{F I}{F E}$. Logo,

$$\frac{FN\times FU}{FR\times FL}=\frac{FE}{FI}\times \frac{FI}{FE}=1\backslash frac\{F\; N\; \backslash times\; F\; U\}\{F\; R\; \backslash times\; F\; L\}=\backslash frac\{F\; E\}\{F\; I\}\; \backslash times\; \backslash frac\{F\; I\}\{F\; E\}=1$$

8. Um subconjunto - Vamos construir o subconjunto pedido da seguinte forma:

• ele contém todos os números ímpares: $1,3,5, \ldots, 2999$. Aqui já temos uma lista com 1500 números.
• o conjunto não pode conter os números que são da forma $2 \times$ (número ímpar),
• o conjunto pode conter os números que são da forma $4 \times$ (número ímpar), isto é,

$$\underset{4}{\underbrace{4\times 1}},\underset{12}{\underbrace{4\times 3}},\underset{20}{\underbrace{4\times 5}},\dots ,\underset{2996}{\underbrace{4\times 749}}\backslash underbrace\{4\; \backslash times\; 1\}\_\{4\},\; \backslash underbrace\{4\; \backslash times\; 3\}\_\{12\},\; \backslash underbrace\{4\; \backslash times\; 5\}\_\{20\},\; \backslash ldots,\; \backslash underbrace\{4\; \backslash times\; 749\}\_\{2996\}$$

essa lista tem 749 números e nenhum é o dôbro do outro. Além disso, nenhum deles é o dôbro de um número ímpar.

Logo, o nosso conjunto já possui $1500+749=2249$ elemento; assim qualquer subconjunto dele com 2000 elementos satisfaz as condições pedidas.

9. Triângulos retângulos - Observemos que os quatro triângulos que aparecem na figura são triângulos retângulos semelhantes, e portanto seus lados são proporcionais. Em particular

$$\frac{v}{8}=\frac{9}{x}=\frac{y}{20}\backslash frac\{v\}\{8\}=\backslash frac\{9\}\{x\}=\backslash frac\{y\}\{20\}$$

Além disso, pelo teorema de Pitágoras temos que $y^{2}=x^{2}+9^{2}$ e portanto

$$\frac{81}{x^2}=\frac{y^2}{400}=\frac{x^2+81}{400}\backslash frac\{81\}\{x^\{2\}\}=\backslash frac\{y^\{2\}\}\{400\}=\backslash frac\{x^\{2\}+81\}\{400\}$$

$\operatorname{assim} x^{4}+81 x^{2}-81 \times 400=0$ e

$$x=\sqrt{\frac{81+\sqrt{{81}^2+4\times 81\times 400}}{2}}=3\sqrt{\frac{9+\sqrt{81+1600}}{2}}=3\sqrt{\frac{9+41}{2}}=15x=\backslash sqrt\{\backslash frac\{81+\backslash sqrt\{81^\{2\}+4\; \backslash times\; 81\; \backslash times\; 400\}\}\{2\}\}=3\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{9+\backslash sqrt\{81+1600\}\}\{2\}\}=3\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{9+41\}\{2\}\}=15$$

donde $y=\sqrt{15^{2}+9^{2}}=3 \sqrt{34}, z=\sqrt{20^{2}-x^{2}}=5 \sqrt{7}, v=8 \frac{9}{15}=\frac{24}{5} \mathrm{e}$ finalmente $w=\sqrt{8^{2}+v^{2}}=\frac{8}{5} \sqrt{34}$.

10. Uma desigualdade especial- Observemos que se um número $a$ satisfaz a desigualdade, então $-a$ também satisfaz a desigualdade, logo os valores que satisfazem a desigualdade formam um conjunto simétrico, portanto basta considerar o caso em que $x$ é positivo. Mas, $(2-x)(1+x)=x+3-x^{2}>0$ é positivo se $2-x$ é positivo, portanto $x<2$. Como a solução é simétrica temos que $-2<x<2$ é a solução da equação inicial. A opção correta é (c).