22. Diversos
70 | Números no W
Em cada uma das casas do $W$ da figura, escrevemos um número inteiro de 1 a 9 de modo que a soma dos três números de cada uma das quatro linhas seja a mesma.
Figura 70.2
Já estão escritos o 6 e o 9. Como devem ser posicionados os outros números?
Solução: Seja $S$ a soma dos três números de cada linha e seja $x 0$ número mostrado na figura 70.3. Como o 9 , o 6 e $x$ estão em duas linhas, a soma de todas as somas das linhas é
que também é igual a 4S. Assim,
Como a soma $S$ é um número inteiro, $x$ deve ser divisível por 4 e como $x$ é um algarismo, temos que $x=4$ ou $x=8$, os quais correspondem a valores de $S$ iguais a 16 ou 17 , respectivamente.
Se $x=4$, o número que falta na linha que contém o 6 deve ser
o que não é possível, pois não podemos repetir números.
Logo, a única possibilidade é $x=8$ e a soma dos elementos de cada linha é 17. Agora, basta combinar os demais números nas linhas e obter a distribuição mostrada na figura 70.4 .
Sugestão: Determine os possíveis valores que podem ser colocados na casa vazia comum às duas linhas.
Fatos que Ajudam: A soma dos 9 primeiros números inteiros positivos é
Figura 70.3
Figura 70.4
Sugestão: Somar $i-1$ à primeira rodada equivale a somar 1 à rodada anterior.
71 | Montando Tabelas
Montar a tabela de um torneio em que todas as $n$ equipes se enfrentam ao longo de $n-1$ rodadas (como, por exemplo, em cada turno do Brasileirão) é um problema matemático bastante elaborado e que possui vários métodos de solução. Nesta questão, vamos conhecer uma dessas abordagens.
Vamos considerar um torneio com 6 equipes. Associaremos os números 1, 2, 3, 4, 5 e $\infty$ (infinito) a cada uma das equipes. A primeira rodada do torneio é $1 \times \infty, 2 \times 5,3 \times 4$. Para montarmos a rodada $i$ somamos $i-1$ a cada número envolvido nas partidas da rodada inicial, considerando que
- quando a soma ultrapassa 5, subtraímos 5 do resultado;
- $\infty$ adicionado a qualquer inteiro positivo é $\infty$. Por exemplo, a segunda rodada será:
(a) Determine as 3 rodadas restantes do torneio, seguindo o método descrito acima.
(b) A partir do procedimento mostrado, exiba as 7 rodadas de um torneio com 8 equipes.
Solução:
(a)
(b)
72 | Numerando os Vértices
Distribuímos nos vértices de um bloco retangular oito números dentre 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 de tal forma que a soma dos números de uma face qualquer seja igual a 18 .
(a) Quais os números descartados na distribuição?
(b) Exiba uma possível distribuição.
Solução:
(a) Como o bloco possui seis faces, a soma dos números em todas as faces é $18 \times 6=108$, mas o número atribuído a cada vértice é contado três vezes nesta soma. Portanto, a soma dos números distribuídos é 108/3 = 36. Como a soma de todos os números de 1 a 10 é igual a 55, a soma dos dois números descartados é 19 . Concluímos que os números descartados são 9 e 10.
(b) Uma possível distribuição é exibida na figura 72.1.
73 | Corrida de São Paulo a Fortaleza
Numa corrida de São Paulo a Fortaleza participam quatro carros $A$, $B, C, D$ que largaram na seguinte ordem: primeiro $A$, segundo $B$, terceiro C e por último D. Durante a corrida, A e B trocaram de posição (ultrapassaram um ao outro) 9 vezes e B e C trocaram de posição 8 vezes.
Para saber em que ordem chegaram à Fortaleza, só é permitido fazer perguntas do tipo:
"Quantas vezes trocaram de posição os carros X e Y?"
Antes de fazer uma pergunta se conhece a resposta da pergunta anterior. Formule três perguntas que permitam determinar a ordem em que os quatro terminaram a corrida.
Solução: Inicialmente, observe que se dois carros trocaram de posição um número par de vezes, eles terminaram na mesma ordem em que começaram e se trocaram de posição um número ímpar de vezes, eles terminaram na ordem inversa. Isto nos leva a concluir que B terminou a corrida na frente de $A$ e de $C$.
Fazemos a primeira pergunta sobre os carros A e C. De acordo com a resposta saberemos quem terminou na frente.
Suponhamos que A chegou na frente de C (o outro caso é análogo). Falta determinar a posição de $\mathrm{D}$, para a qual há quatro possibilidades (à frente de B, entre B e $A$, entre $A$ e $C$ e atrás de $\mathrm{C}$ ). Fazemos a segunda pergunta para $A$ e $D$ e dependendo de $D$ chegar na frente ou atrás de $A$, perguntamos para $B$ e $D$ ou $C$ e $D$, respectivamente. Com a última resposta descobriremos entre quais carros $\mathrm{D}$ chegou, determinando a ordem de chegada. Sugestão: Calcule as somas dos números de todas as faces do paralelepípedo e observe quantas vezes cada vértice está sendo contado nessa soma.
Fatos que Ajudam:
$1+2+\cdots+10=55$.
Figura 72.1
Sugestão: Observe que se dois carros trocam de posição duas vezes, a ordem entre eles continua a mesma.
74 | Casas Pretas e Brancas
Considere um tabuleiro $6 \times 6$ com suas casas coloridas de branco ou preto. Duas casas são chamadas vizinhas se possuem um lado comum. A coloração do tabuleiro vai mudando a cada segundo, respeitando a seguinte condição: se num determinado segundo pelo menos duas casas vizinhas de uma determinada casa estão coloridas de preto, então no próximo segundo esta última casa será colorida de preto.
(a) A figura abaixo mostra uma possível coloração inicial. Como ficará o tabuleiro após 12 segundos? E após 13 segundos?
(b) Exiba uma coloração inicial com 6 casas pretas de modo que, em algum momento, todas as casas fiquem pretas.
Solução: (a) Seguem as colorações do tabuleiro a cada segundo. Observe que a partir de 12 segundos todos os tabuleiros são iguais.
0
5
10
6
7
11
8
4
12
(b) Colorimos inicialmente as casas de uma das diagonais. Após 5 segundos, todas as casas estarão pretas.
0
1
