| # 22. Diversos |
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| ## 70 | Números no W |
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| Em cada uma das casas do $W$ da figura, escrevemos um número inteiro de 1 a 9 de modo que a soma dos três números de cada uma das quatro linhas seja a mesma. |
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| Figura 70.2 |
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| Já estão escritos o 6 e o 9. Como devem ser posicionados os outros números? |
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| Solução: Seja $S$ a soma dos três números de cada linha e seja $x 0$ número mostrado na figura 70.3. Como o 9 , o 6 e $x$ estão em duas linhas, a soma de todas as somas das linhas é |
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| $$ |
| (1+2+\cdots+9)+(9+6+x)=45+(15+x)=60+x |
| $$ |
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| que também é igual a 4S. Assim, |
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| $$ |
| 4 S=60+x \Longleftrightarrow S=15+\frac{x}{4} |
| $$ |
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| Como a soma $S$ é um número inteiro, $x$ deve ser divisível por 4 e como $x$ é um algarismo, temos que $x=4$ ou $x=8$, os quais correspondem a valores de $S$ iguais a 16 ou 17 , respectivamente. |
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| Se $x=4$, o número que falta na linha que contém o 6 deve ser |
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| $$ |
| 16-6-4=6 |
| $$ |
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| o que não é possível, pois não podemos repetir números. |
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| Logo, a única possibilidade é $x=8$ e a soma dos elementos de cada linha é 17. Agora, basta combinar os demais números nas linhas e obter a distribuição mostrada na figura 70.4 . |
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| Sugestão: Determine os possíveis valores que podem ser colocados na casa vazia comum às duas linhas. |
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| Fatos que Ajudam: A soma dos 9 primeiros números inteiros positivos é |
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| $$ |
| 1+2+\cdots+9=45 |
| $$ |
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| Figura 70.3 |
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| Figura 70.4 |
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| Sugestão: Somar $i-1$ à primeira rodada equivale a somar 1 à rodada anterior. |
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| ## 71 | Montando Tabelas |
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| Montar a tabela de um torneio em que todas as $n$ equipes se enfrentam ao longo de $n-1$ rodadas (como, por exemplo, em cada turno do Brasileirão) é um problema matemático bastante elaborado e que possui vários métodos de solução. Nesta questão, vamos conhecer uma dessas abordagens. |
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| Vamos considerar um torneio com 6 equipes. Associaremos os números 1, 2, 3, 4, 5 e $\infty$ (infinito) a cada uma das equipes. A primeira rodada do torneio é $1 \times \infty, 2 \times 5,3 \times 4$. Para montarmos a rodada $i$ somamos $i-1$ a cada número envolvido nas partidas da rodada inicial, considerando que |
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| - quando a soma ultrapassa 5, subtraímos 5 do resultado; |
| - $\infty$ adicionado a qualquer inteiro positivo é $\infty$. Por exemplo, a segunda rodada será: |
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| $$ |
| \begin{gathered} |
| (1+1) \times(\infty+1), \text { isto é, } 2 \times \infty \\ |
| (2+1) \times(5+1) \text {, isto é, } 3 \times 1 \\ |
| (3+1) \times(4+1) \text {, isto é, } 4 \times 5 |
| \end{gathered} |
| $$ |
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| (a) Determine as 3 rodadas restantes do torneio, seguindo o método descrito acima. |
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| (b) A partir do procedimento mostrado, exiba as 7 rodadas de um torneio com 8 equipes. |
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| ## Solução: |
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| (a) |
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| $$ |
| \begin{gathered} |
| \left(\begin{array}{c} |
| 1 \times \infty \\ |
| 2 \times 5 \\ |
| 3 \times 4 |
| \end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{c} |
| 2 \times \infty \\ |
| 3 \times 1 \\ |
| 4 \times 5 |
| \end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{c} |
| 3 \times \infty \\ |
| 4 \times 2 \\ |
| 5 \times 1 |
| \end{array}\right) \rightarrow \\ |
| \left(\begin{array}{c} |
| 4 \times \infty \\ |
| 5 \times 3 \\ |
| 1 \times 2 |
| \end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{c} |
| 5 \times \infty \\ |
| 1 \times 4 \\ |
| 2 \times 3 |
| \end{array}\right) |
| \end{gathered} |
| $$ |
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| (b) |
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| $$ |
| \begin{gathered} |
| \left(\begin{array}{c} |
| 1 \times \infty \\ |
| 2 \times 7 \\ |
| 3 \times 6 \\ |
| 4 \times 5 |
| \end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{c} |
| 2 \times \infty \\ |
| 3 \times 1 \\ |
| 4 \times 7 \\ |
| 5 \times 6 |
| \end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{c} |
| 3 \times \infty \\ |
| 4 \times 2 \\ |
| 5 \times 1 \\ |
| 6 \times 7 |
| \end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{c} |
| 4 \times \infty \\ |
| 5 \times 3 \\ |
| 6 \times 2 \\ |
| 7 \times 1 |
| \end{array}\right) \rightarrow \\ |
| \left(\begin{array}{c} |
| 5 \times \infty \\ |
| 6 \times 4 \\ |
| 7 \times 3 \\ |
| 1 \times 2 |
| \end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{c} |
| 6 \times \infty \\ |
| 7 \times 5 \\ |
| 1 \times 4 \\ |
| 2 \times 3 |
| \end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{c} |
| 7 \times \infty \\ |
| 1 \times 6 \\ |
| 2 \times 5 \\ |
| 3 \times 4 |
| \end{array}\right) |
| \end{gathered} |
| $$ |
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| ## 72 | Numerando os Vértices |
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| Distribuímos nos vértices de um bloco retangular oito números dentre 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 de tal forma que a soma dos números de uma face qualquer seja igual a 18 . |
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| (a) Quais os números descartados na distribuição? |
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| (b) Exiba uma possível distribuição. |
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| ## Solução: |
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| (a) Como o bloco possui seis faces, a soma dos números em todas as faces é $18 \times 6=108$, mas o número atribuído a cada vértice é contado três vezes nesta soma. Portanto, a soma dos números distribuídos é 108/3 = 36. Como a soma de todos os números de 1 a 10 é igual a 55, a soma dos dois números descartados é 19 . Concluímos que os números descartados são 9 e 10. |
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| (b) Uma possível distribuição é exibida na figura 72.1. |
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| ## 73 | Corrida de São Paulo a Fortaleza |
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| Numa corrida de São Paulo a Fortaleza participam quatro carros $A$, $B, C, D$ que largaram na seguinte ordem: primeiro $A$, segundo $B$, terceiro C e por último D. Durante a corrida, A e B trocaram de posição (ultrapassaram um ao outro) 9 vezes e B e C trocaram de posição 8 vezes. |
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| Para saber em que ordem chegaram à Fortaleza, só é permitido fazer perguntas do tipo: |
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| "Quantas vezes trocaram de posição os carros X e Y?" |
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| Antes de fazer uma pergunta se conhece a resposta da pergunta anterior. Formule três perguntas que permitam determinar a ordem em que os quatro terminaram a corrida. |
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| Solução: Inicialmente, observe que se dois carros trocaram de posição um número par de vezes, eles terminaram na mesma ordem em que começaram e se trocaram de posição um número ímpar de vezes, eles terminaram na ordem inversa. Isto nos leva a concluir que B terminou a corrida na frente de $A$ e de $C$. |
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| Fazemos a primeira pergunta sobre os carros A e C. De acordo com a resposta saberemos quem terminou na frente. |
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| Suponhamos que A chegou na frente de C (o outro caso é análogo). Falta determinar a posição de $\mathrm{D}$, para a qual há quatro possibilidades (à frente de B, entre B e $A$, entre $A$ e $C$ e atrás de $\mathrm{C}$ ). Fazemos a segunda pergunta para $A$ e $D$ e dependendo de $D$ chegar na frente ou atrás de $A$, perguntamos para $B$ e $D$ ou $C$ e $D$, respectivamente. Com a última resposta descobriremos entre quais carros $\mathrm{D}$ chegou, determinando a ordem de chegada. |
| Sugestão: Calcule as somas dos números de todas as faces do paralelepípedo e observe quantas vezes cada vértice está sendo contado nessa soma. |
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| Fatos que Ajudam: |
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| $1+2+\cdots+10=55$. |
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| Figura 72.1 |
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| Sugestão: Observe que se dois carros trocam de posição duas vezes, a ordem entre eles continua a mesma. |
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| ## 74 | Casas Pretas e Brancas |
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| Considere um tabuleiro $6 \times 6$ com suas casas coloridas de branco ou preto. Duas casas são chamadas vizinhas se possuem um lado comum. A coloração do tabuleiro vai mudando a cada segundo, respeitando a seguinte condição: se num determinado segundo pelo menos duas casas vizinhas de uma determinada casa estão coloridas de preto, então no próximo segundo esta última casa será colorida de preto. |
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| (a) A figura abaixo mostra uma possível coloração inicial. Como ficará o tabuleiro após 12 segundos? E após 13 segundos? |
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| (b) Exiba uma coloração inicial com 6 casas pretas de modo que, em algum momento, todas as casas fiquem pretas. |
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| Solução: (a) Seguem as colorações do tabuleiro a cada segundo. Observe que a partir de 12 segundos todos os tabuleiros são iguais. |
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| (b) Colorimos inicialmente as casas de uma das diagonais. Após 5 segundos, todas as casas estarão pretas. |
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