Olimpiada Naţională de Matematică
Etapa locală - 26 februarie 2022
CLASA a XII-a - enunţuri
Timp de lucru 180 de minute
Fiecare problemă se punctează cu 1 punct
Alegeţi varianta de răspuns. Pentru fiecare întrebare, un singur răspuns este cel corect.
- Fie operaţia $\perp$ definită prin $x \perp y=x y-6 x-6 y+42$, pentru orice $x, y \in \mathbb{R}$. Această operaţie nu este lege de compoziţie pe:
A. $\mathbb{R}$.
B. $\mathbb{R} \backslash{6}$.
C. $(6, \infty)$.
D. $(-\infty, 6)$.
E. $\mathbb{Q}$.
- Funcţia $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=(a x+b) e^{x}$ este o primitivă a funcţiei $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, g(x)=$ $(3 x+2) e^{x}$ dacă:
A. $a=3, b=1$.
B. $a=3, b=-1$.
C. $a=3, b=0$.
D. $a=3, b=2$.
E. $a=3, b=-2$.
- Fie legea asociativă * definită pentru orice $x, y \in \mathbb{R}$ prin $x * y=(x-3)(y-3)+3$. Atunci $\frac{7}{2} * \frac{11}{3} * \frac{15}{4} * \frac{19}{5} * \frac{23}{6}$ este egal cu: A. $\frac{27}{7}$. B. $\frac{19}{6}$. C. $\frac{1}{6}$. D. $\frac{7}{2}$. E. 3 .
- Fie $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ o funcţie derivabilă cu derivata continuă astfel încât $f^{\prime}(0)=2$. Notăm cu $F$ o primitivă a lui $f$. Atunci $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{F(x)+F(-x)-2 F(0)}{x^{2}}$ este egală cu:
A. 0 .
B. 1 .
C. 2 .
D. -1 .
E. -2 .
- Pe $\mathbb{Z}{8}$ definim legea $\circ$ prin $a \circ b=a b+a+b$, pentru orice $a, b \in \mathbb{Z}{8}$. Numărul soluţiilor ecuaţiei $x \circ x=\widehat{7}$ este:
A. 0 .
B. 1 .
C. 2 .
D. 4 .
E. 8 .
- Fie funcţia $f:\left[\frac{1}{2}, \infty\right) \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\int_{\frac{1}{2}}^{x}(t-1) \ln (t) d t$. Atunci:
A. $x=1$ este punct de minim al funcţiei $f$.
B. $x=1$ este punct de maxim al funcţiei $f$.
C. $f$ este descrescătoare pe $\left[\frac{1}{2}, \infty\right)$.
D. $f$ este crescătoare pe $\left[\frac{1}{2}, \infty\right)$.
E. Toate răspunsurile anterioare sunt false.
- Pe $(0, \infty)$ definim legea de compoziţie $\perp$ prin $u \perp v=u \sqrt{1+v^{2}}+v \sqrt{1+u^{2}}$, pentru orice $u, v \in(0, \infty)$. Valoarea numărului real $\alpha$, pentru care $\lim _{x \rightarrow \infty}\left((x \perp x)-\alpha x^{2}\right)$ există şi este finită, este egală cu:
A. 1 .
B. 2 .
C. 4 .
D. 8 .
E. Alt răspuns.
- Fie mulţimea $\mathcal{F}={f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \mid f$ admite primitive pe $\mathbb{R}}$. Care dintre următoarele enunţuri este fals?
A. Pentru orice $g, h \in \mathcal{F}$ avem $g+h \in \mathcal{F}$.
B. Pentru orice $g, h \in \mathcal{F}$ avem $g-h \in \mathcal{F}$.
C. Pentru orice $g, h \in \mathcal{F}$ avem $g h \in \mathcal{F}$.
D. Pentru orice $\alpha \in \mathbb{R}$ si $g \in \mathcal{F}$ avem $\alpha g \in \mathcal{F}$.
E. $\mathcal{F}$ este grup în raport cu operaţia de adunare a funcţiilor.
- Pe $\mathbb{R}$ definim legea asociativă * prin $a * b=3(a-2)(b-2)+2$, pentru orice $a, b \in \mathbb{R}$. Pentru un număr real $\alpha$ definim şirul $\left(x_{n}\right){n \geq 2}$ prin relaţia $x{n}=\underbrace{\alpha * \alpha * \ldots * \alpha}{n \text { de } \alpha}$. Mulţimea tuturor valorilor posibile ale numărului $\alpha$ pentru care şirul $\left(x{n}\right)_{n \geq 2}$ este mărginit este:
A. $\emptyset$. B. ${2}$.
C. $\left{\frac{5}{3}, \frac{7}{3}\right}$. D. $\left(\frac{5}{3}, \frac{7}{3}\right)$. E. $\left[\frac{5}{3}, \frac{7}{3}\right]$.
- Valoarea integralei $I=\int_{0}^{1}(x \cos (x)+\sin (x)) d x$ este:
A. 0 .
B. 1 .
C. $\cos (1)$.
D. $\sin (1)$.
E. $\sin (1)+\cos (1)$.
- Cel mai mic număr natural nenul $n$, pentru care $\widehat{2} \cdot \widehat{7} \cdot \widehat{12} \cdot \ldots \cdot(\widehat{5 n+2})=\widehat{0}$ în $\mathbb{Z}_{2022}$, este:
A. 1011 .
B. 37 .
C. 337 .
D. 67 .
E. 57 .
- Fie $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ o funcţie pară si $a \in(0, \infty)$ astfel încât $f(a) \neq 0$. Fie $F$ o primitivă a functुiei $f$ cu proprietatea $F(a)=F(-a)=0$. Atunci $\int_{-a}^{a} F(t) d t$ este egală cu:
A. $a$.
B. $-f(a)$.
C. $-a$.
D. $f(-a)$.
E. 0 .
- Fie $(G, \cdot)$ un grup cu elementul neutru $e$. Se ştie că $x^{2}=e$, pentru orice $x \in G$. Câte morfisme injective $f: G \rightarrow G$ satisfac relaţia $f(f(x)) \cdot f(x)=e$, pentru orice $x \in G$ ?
A. Niciunul.
B. Exact unul.
C. Exact două.
D. Un număr finit mai mare sau egal decât 3 .
E. O infinitate.
- Fie $f: \mathbb{R} \rightarrow(0, \infty)$ o funcţie continuă şi crescătoare cu proprietatea că $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f(x+1)}{f(x)}=1$. Fie $F$ o primitivă a lui $f$. Atunci despre $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{F(n)}{f(1)+f(2)+f(3)+\ldots+f(n-1)}$ putem spune că:
A. $\mathrm{Nu}$ există.
B. Este egală cu 0.
C. Este egală cu 1.
D. Este egală cu $+\infty$.
E. Este egală cu 2.
- Numărul total de valori posibile ale elementului $a \in \mathbb{Z}{36}$, pentru care funcţia $f: \mathbb{Z}{36} \rightarrow \mathbb{Z}_{36}$, $f(x)=a x$ este surjectivă, este egal cu:
A. 36 .
B. 18 .
C. 12 .
D. 9 .
E. 4 .
- Pentru orice $n \in \mathbb{N}^{*}$ definim şirul $\left(I_{n}\right){n \geq 1}$ prin $I{n}=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}(\operatorname{tg} x)^{n} d x$. Valoarea lui $n$, pentru care are loc egalitatea $I_{n+2}+I_{n}=\frac{1}{2022}$, este:
A. 2023 .
B. 2022 .
C. 2021 .
D. 2020 .
E. 2019 .
- Fie $(G, \cdot)$ un grup cu elementul neutru $e$. Fie $H \neq G$ o submulţime nevidă a lui $G \mathrm{cu}$ proprietatea că oricare ar fi $a \in H$ şi $b \in G \backslash H$ avem $a b \in H$. Considerăm enunţurile:
E1: Pentru orice $u, v \in H$ avem $u v \in H$.
E2: Pentru orice $u, v \in G \backslash H$ avem $u v \in G \backslash H$.
E3: $e \in H$.
E4: Pentru orice $x \in H$ avem $x^{-1} \in H$.
Numărul de enunţuri adevărate este egal cu:
A. 4 .
B. 2 .
C. 0 .
D. 3 .
E. 1 .
- Mulţimea tuturor valorilor posibile ale numărului real $a$ pentru care funcţia $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=\left{\begin{aligned} \cos ^{2} \frac{1}{x}, & x \neq 0 \ a, & x=0\end{aligned}\right.$ admite primitive pe $\mathbb{R}$, este:
A. $\left{\frac{1}{2}\right}$.
B. ${1}$.
C. ${0}$.
D. $[0,1]$.
E. $\emptyset$.
- Fie ( $G, \cdot)$ un grup cu elementul neutru $e$. Fie $a, b \in G$, astfel încât $a^{4}=e$ şi $a^{2} b a^{-2}=b^{4}$. Care dintre următoarele enunţuri este cu certitudine adevărat?
A. $a^{2} b^{3} a^{-2}=b^{8}$.
B. $a^{2} b^{5} a^{-2}=b^{16}$.
C. $b^{14}=e$.
D. $b^{15}=e$.
E. $b^{16}=e$.
- Valoarea limitei $\lim {n \rightarrow \infty} \int{\frac{1}{n}}^{n} \frac{\operatorname{arctg} x}{1+x^{2}} d x$ este: A. $\frac{\pi^{2}}{4}$. B. $\frac{\pi^{2}}{2}$. C. $\frac{\pi}{4}$.
D. $\frac{\pi^{2}}{8}$. E. $\frac{\pi}{8}$.
- Fie $n \in \mathbb{N}$ şi $G$ un grup cu $2 n+1$ elemente, despre care se ştie că există o funcţie $f: G \rightarrow G$, cu proprietatea că $f(x f(x y))=y f\left(x^{2}\right)$, pentru orice $x, y \in G$. Considerăm enunţurile:
E1: $f$ este injectivă.
E2: $G$ poate fi grup necomutativ.
E3: $x^{8} y=y x^{8}$.
E4: $f(x)=x$, pentru orice $x \in G$.
Numărul de enunţuri adevărate este egal cu:
A. 0 .
B. 1 .
C. 2 .
D. 3 .
E. 4 .
- Valoarea integralei $I=\int_{0}^{4 \pi} \frac{x \cos x}{1+\sin ^{2} x} d x$ este:
A. $2 \pi$.
B. 2 .
C. $\pi$.
D. 1 .
E. 0 .
- Fie $A \subset \mathbb{Z}$ o mulţime care are ca elemente toate numerele naturale prime, opusele lor, 0,1 şi -1 . Fie enunţurile:
E1: Adunarea numerelor nu este lege de compozitiie pe $A$.
E2: Înmulţirea numerelor nu este lege de compoziţie pe $A$.
E3: Există o infinitate de operaţii * care pot fi legi de compoziţie pe $A$.
E4: Există cel puţin o operaţie * care defineşte o structură de grup abelian pe $A$.
Numărul de enunţuri adevărate este egal cu:
A. 0 .
B. 1 .
C. 2 .
D. 3 .
E. 4 .
- Spunem că o funcţie integrabilă $f:[0,1] \rightarrow[0,1]$ are proprietatea $P$ dacă
Fie enunţurile:
E1: Există funcţii continue care au proprietatea $P$.
E2: Există funcţii discontinue care au proprietatea $P$.
E3: Există funcţii monotone care au proprietatea $P$.
E4: Există funcţii nemonotone care au proprietatea $P$.
Numărul de enunţuri adevărate este egal cu:
A. 3 .
B. 4 .
C. 0 .
D. 1 .
E. 2 .
Olimpiada Naţională de Matematică
Etapa locală - 26 februarie 2022
CLASA a XII-a
Grila de răspunsuri
- Răspuns: $\mathrm{D}$
- Răspuns: $\mathrm{B}$
- Răspuns: B
- Răspuns: C
- Răspuns: C
- Răspuns: $\mathrm{D}$
- Răspuns: $\mathrm{B}$
- Răspuns: C
- Răspuns: $\mathrm{E}$
- Răspuns: $\mathrm{D}$
- Răspuns: $D$
- Răspuns: $\mathrm{E}$
- Răspuns: $B$
- Răspuns: C
- Răspuns: C
- Răspuns: C
- Răspuns: B
- Răspuns: A
- Răspuns: $D$
- Răspuns: $D$
- Răspuns: D
- Răspuns: $\mathrm{E}$
- Răspuns: $\mathrm{E}$
- Răspuns: A