Czech/md/cs-mo-secondary/cs-3471661-c47i.md

Úlohy domácího kola kategorie $\mathrm{C}$

1. Pro libovolné trojciferné čislo určíme jeho zbytky při dělení čisly 2, 3, 4, ..., 10 a získaných devět čisel pak sečteme. Zjistěte nejmenši možnou hodnotu takového součtu.

ŘEŠENí. Označme $S(n)$ součet uvedených zbytků trojciferného čísla $n$. Vysvětlíme, proč $S(n) \geqq 3$.

• Pro liché $n$ je $S(n) \geqq 5$ (uvažte zbytky při dělení sudými čísly $2,4,6,8$, 10). Dále tedy necht $n$ je sudé.
• Pokud $4 \nmid n$, tak $S(n) \geqq 4$ ( $n$ dává při dělení čísly 4 a 8 zbytek aspoň 2 ). Necht̀ $n$ je dále dělitelné čtyřmi.
• Pokud $8 \nmid n, \operatorname{tak} S(n) \geqq 4$ (zbytek 4 při dělení číslem 8 ). Proto necht̉ je dále $n$ dělitelné osmi.
• Pokud $3 \nmid n$, tak $S(n) \geqq 3$ ( $n$ dává při dělení čísly $3,6,9$ zbytek aspoň 1 ). Necht́ je dále $n$ dělitelné osmi a třemi.
• Pokud $9 \nmid n$, tak $S(n) \geqq 3$ (zbytek aspoň 3 při dělení číslem 9 ). Necht dále $8 \mid n$ a $9 \mid n$.
• Pokud $5 \nmid n, \operatorname{tak} S(n) \geqq 3$ (zbytek aspoň 1 při dělení číslem 5 a zbytek aspoň 2 při dělení číslem 10).

Předpokládejme proto, že $5|n, 8| n$ a $9 \mid n$. Pak přicházejí do úvahy už jen čísla 360 a 720 , pro něž $S(360)=3$ a $S(720)=9$. Tím je nerovnost $S(n) \geqq 3$ dokázaná. Zároveň jsme zjistili, že $S(n)=3$ např. pro $n=360$. (Je také $S(840)=3$.)

JINÉ ŘEŠENí. Uvažujme jen ten případ, kdy číslo $n$ není dělitelné nejvýše dvěma z čísel $2,3, \ldots, 10$ (jinak $S(n) \geqq 3$ ). Pokud je tento „nedělitel" jediný, je to nutně číslo 7 (musí to být prvočíslo, jehož dvojnásobek je větší než 10), takže $360 \mid n$. Pokud jsou takoví „nedělitelé“ dva, musí to být některá z dvojic 5 a 10,8 a 9,7 a 8,7 a 9,4 a 8 . V každém případě $6 \mid n$, takže snadno ukážeme, že jeden z obou kladných zbytků je větší než 1 , tedy $S(n) \geqq 3$.

NÁVODNÉ ÚLOHY:

1. Jaké jsou všechny možné součty zbytků čísla po dělení čísly 3,6 a 9 ?
2. Najděte všechna čtyřmístná čísla, která po dělení čísly $4,5,6,7$ a 8 dávají zbytky a) $1,1,1,1,1$; b) $3,4,5,6,7$; c) $1,1,1,4,1$.

ROZŠIŘUJÍCÍ ÚLOHA:

Určete všechna pěticiferná čísla $A$ s následující vlastností: zapíšeme-li za sebou (zleva doprava) zbytky, které dává číslo $A$ po dělení čisly $2,3,4,5$ a 6 , dostaneme opět původní číslo $A$. [11 311 (45-C-S-3)]

2. Najděte všechny trojúhelniky $A B C$, pro které platí $a+v_{a}=b+v_{b}$ při obvyklém označení stran a výšek trojúhelniku.

ŘEŠENí. Pro obsah $S$ trojúhelníku $A B C$ platí

$$S=\frac{a\cdot v_a}{2}=\frac{b\cdot v_b}{2}S=\backslash frac\{a\; \backslash cdot\; v\_\{a\}\}\{2\}=\backslash frac\{b\; \backslash cdot\; v\_\{b\}\}\{2\}$$

Po dosazení do dané rovnosti dostaneme rovnost $a+\frac{2 S}{a}=b+\frac{2 S}{b}$. Jednoduchou úpravou odtud dále plyne $a-b=2 S \frac{a-b}{a b}$, neboli $(a-b)(a b-2 S)=0$. Je tedy bud' $a=b$ (a tedy $v_{a}=v_{b}$ ), nebo $S=\frac{a b}{2}$ ( $\mathrm{tj} \cdot v_{a}=b$, úhel $A C B$ je pravý a $\left.v_{b}=a\right)$. Snadno se přesvědčíme, že oba případy vyhovují.

Podmínce úlohy vyhovují všechny rovnoramenné trojúhelníky se základnou $A B$ a všechny pravoúhlé trojúhelníky s přeponou $A B$ (a žádné jiné).

NÁVODNÉ ÚLOHY:

1. Určete všechny trojúhelníky $A B C$, pro jejichž obsah $S$ platí $8 S^{2}=b^{2} c^{2}$.
2. Určete všechny trojúhelníky $A B C$, v nichž pro velikosti stran a výšek platí a) $a+\frac{1}{v_{a}}=c+\frac{1}{v_{c}} ;$ b) $a+\frac{1}{v_{c}}=c+\frac{1}{v_{a}}$.

[a) $a=c$; b) $a=c$ nebo $S=\frac{1}{2}$.]

ROZŠIŘUJÍcí ÚLOHA:

Je dáno přirozené číslo $n$. Určete všechny trojúhelníky $A B C$, pro něž platí

$$a^n+v_a^n=c^n+v_c^n\mathrm{.}a^\{n\}+v\_\{a\}^\{n\}=c^\{n\}+v\_\{c\}^\{n\}\; .$$

[Jedině trojúhelníky, v nichž $a=c$, anebo jež mají pravý úhel při vrcholu $B$.]

3. Sto dětí se rozdělilo do tří družstev $A, B$ a $C$. Poté, co jedno dítě přestoupilo $z A$ do $B$, jedno $z B$ do $C$ a jedno $z C$ do $A$, se prümérná hmotnost dětí zvýšila $v$ družstvu $A$ o $120 \mathrm{g}$, $v$ družstvu $B$ o $130 \mathrm{g}$, zatímco $v$ družstvu C se snižila o $240 \mathrm{~g}$. Kolik dětí bylo v jednotlivých družstvech?

ŘEŠEní. Označme $a, b$ a $c$ po řadě počty dětí v družstvech $A, B$ a $C$, dále neché $\bar{a}, \bar{b}$ a $\bar{c}$ je po řadě průměrná hmotnost ( $\mathrm{v}$ gramech) dětí $\mathrm{v}$ družstvech $A, B$ a $C$ před výměnou. Nakonec označme $a_{1}, b_{1}$ a $c_{1}$ po řadě hmotnost (v gramech) dítěte, které přestoupilo z $A$ do $B$, z $B$ do $C$ a z $C$ do $A$.

Celková hmotnost dětí v družstvu $A$ byla pred výměnou $a \cdot \bar{a}$. Z podmínky v zadání sestavíme následující rovnici

$$\frac{a\cdot \bar{a}-a_1+c_1}{a}=\bar{a}+120.\backslash frac\{a\; \backslash cdot\; \backslash bar\{a\}-a\_\{1\}+c\_\{1\}\}\{a\}=\backslash bar\{a\}+120\; .$$

Po jednoduché úpravě vyjde

$$-a_1+c_1=120a\text{. }-a\_\{1\}+c\_\{1\}=120\; a\; \backslash text\; \{.\; \}$$

Obdobně dostaneme i

$$-b_1+a_1=130b\text{ a }-c_1+b_1=-240c-b\_\{1\}+a\_\{1\}=130\; b\; \backslash quad\; \backslash text\; \{\; a\; \}\; \backslash quad-c\_\{1\}+b\_\{1\}=-240\; c$$

Sečtením těchto tří rovnic dostaneme (po vydělení deseti a dalších úpravách)

Z podmínky $0<b<100$ a poslední rovnice vyplývá, že mohou nastat jen tři následující případy: a) $a+b=66, b=24$; b) $a+b=65, b=60$; c) $a+b=64, b=96$.

A zřejmě jen prvé dva vedou k přípustným řešením $(a>0)$. Ještě ověříme, zda obě získaná řešení skutečně vyhovují podmínkám úlohy. $V$ případě a) máme $a=42, b=24, c=34 ; c_{1}-a_{1}=5040$ a $a_{1}-b_{1}=3120$, zatímco v prípadě $\left.\mathrm{b}\right)$ máme $a=5, b=60, c=35 ; c_{1}-a_{1}=600$ a $a_{1}-b_{1}=7800$. Tyto výsledky zřejmě mohou odpovídat reálné situaci.

Odpověd': Počty dětí v družstvech $A, B, C$ byly po řadě bud' $42,24,34$, anebo $5,60,35$.

NÁVODNÉ ÚLOHY:

1. V oboru přirozených čísel řešte rovnici a) $7 x+8 y=163$; b) $7 x+8 y=1998$.

[a) $x=21-8 s, y=2+7 s, s \in{0,1,2}$; b) $x=282-8 s, y=3+7 s$, $s \in{0,1, \ldots, 35}$.]

2. Průměrná výška skupiny děvčat je $165 \mathrm{cm}$. Když k nim přibyla Jana, jejíž výška je menší než $2 \mathrm{m}$, zvětšila se průměrná výška ve skupině na $171 \mathrm{~cm}$. Kolik nejméně a kolik nejvýše děvčat může být po jejím příchodu ve skupině? [Nejméně 2, nejvýše 5.]

ROZŠIŘUJÍCÍ ÚLOHA:

Opravte číslo na pravé straně jedné z rovnic $x+2 y=43,2 x+y=50, x+y=30$, $x-y=4$ tak, aby opravená soustava měla řešení $\mathrm{v}$ oboru reálných čísel. Napište opravenou soustavu a její řešení. $[2 x+y=47, x=17, y=13(38-\mathrm{C}-\mathrm{S}-2)]$

4. Uvnitř daného pravoúhlého rovnoramenného trojúhelníku $A B C$ s přeponou $A B$ zvolíme libovolně bod $X$. Sestrojíme přimky $p$ a q, které procházeji

úsečku $K L$, na přímce q úsečku $M N$. Určete všechny body $X$, pro které platí $|K L|=2 \cdot|M N|$.

Obr. 1

Obr. 2

ŘEŠENí. Označme $R$ průsečík přímky $p$ s výškou $C D$ trojúhelníku $A B C$ (obr.1) a $M$ průsečík přímky $q$ s preponou $A B$. Předpokládejme, že bod $N$ leží na straně $A C$ (případ, kdy leží na straně $B C$, vyřešíme díky souměrnosti trojúhelníku $A B C$ podle osy $C D$ analogicky). Protože $|K L|=2 \cdot|R C|$, požadovaná rovnost $|K L|=2 \cdot|M N|$ platí, právě když $|R C|=|M N|$, tj. právě když $M R | N C$, tj. právě když $M D R X$ je čtverec. Proto $D X$ je osa úhlu $A D C$ kolmá na $A C$, a tedy $X$ leží uvnitř úsečky $D E$, kde $E$ je střed strany $A C$, neboli uvnitř střední přičky trojúhelníku $A B C$ rovnoběžné $\mathrm{s} B C$. $\mathrm{Z}$ uvedeného je jasné, že každý vnitřní bod této přičky vyhovuje zadání (krajní body $D$ a $E$ nevyhovují, protože nás zajímají jen body $X$ uvnitř trojúhelníku $A B C$ ). Obdobně pro bod $N$ na straně $B C$ dostaneme vnitřek střední přičky $D F$ (obr. 1).

Odpověd: Hledanou množinu tvoří všechny vnitřní body dvou středních přiček trojúhelníku $A B C$, jež jsou rovnoběžné s jeho odvěsnami.

JINÉ ŘEŠENí. Trojúhelník $A B C$ doplňme na čtverec $A E B C$ (obr. 2). Hledáme ty body $X$ uvnitř trojúhelníku $A B C$, pro něž popsané přímky $p$ a $q$ vytínají na čtverci $A E B C$ dvě shodné úsečky $K L$ a $N N^{\prime}$. Pak ale musí být trojúhelníky $K L C$ a $N^{\prime} N A$ dva shodné rovnoramenné pravoúhlé trojúhelníky, to znamená, že přímky $p$ a $q$ jsou souměrně sdružené podle osy strany $A C$ čtverce, tj. bod $X$ leží na této ose. Podobně pro bod $N$ ležící na straně $B C$ dostaneme, že bod $X$ musí ležet na ose strany $B C$.

NÁVODNÉ ÚLOHY:

1. Necht $S$ je střed strany $A B$ rovnostranného trojúhelníku $A B C$ se stranou $a=|B C|=10 \mathrm{cm}$. Označme $X$ takový bod trojúhelníku $A B C$, který je od přímek $C S$ a $A B$ vzdálený po řadě $2 \mathrm{cm}$ a $3 \mathrm{~cm}$. Ved’me bodem $X$ rovnoběžky s $A B$ a $C S$. Ty protnou obvod trojúhelníku $A B C$ ve čtyřech bodech. Vypočítejte obsah čtyřúhelníku určeného těmito čtyřmi body. $\left[(15 \sqrt{3}-9) \mathrm{cm}^{2}\right]$
2. Je dán ostroúhlý trojúhelník $A B C$ a jeho libovolný bod $X$. Bodem $X$ ved'me přímku kolmou na $A C$ a její průsečík se stranou $A C$ označme $M$. Její druhý průsečík s obvodem trojúhelníku $A B C$ označme $N$. Popište všechny ty body $X$, pro něž platí $|M X|=|N X|$. [Sjednocení úseček $A U$ a $C U$, kde $U$ je střed výšky z vrcholu $B$ na stranu $A C$.]

$k d e[a]$ je tzv. celá část reálného čisla $a, t j$. celé číslo, pro které platí $[a] \leqq$ $\leqq a<[a]+1$. Např́klad $[3,7]=3 a[-3,7]=-4$.

ŘEŠENí. Necht $x-[x]=x_{0}$ a $y-[y]=y_{0}$, kde $x_{0}, y_{0}\left(0 \leqq x_{0}, y_{0}<1\right)$ jsou tzv. zlomkové části čísel $x, y$. Daná soustava tak přejde na tvar

V obou rovnicích musí být na pravých stranách celá čísla, proto $y_{0}$ může nabývat pouze hodnot 0,2 nebo 0,7 . Rozeberme oba tyto př́ípady:

a) Necht $y_{0}=0,2$, tedy $[y]=\frac{117-7[x]}{2}$.

Odečtením rovnic dostáváme $2[x]=25,1+5 x_{0}$. Protože $0 \leqq 5 x_{0}<5$, může $[x]$ nabývat pouze hodnot 13,14 a 15 . Aby bylo $[y]$ celé, musí být $[x]$ navíc liché číslo. Potom dostáváme

$[x]$	$x_{0}$	$[y]$	$x$	$y$
13	0,18	13	13,18	13,2
15	0,98	6	15,98	6,2

b) Necht $y_{0}=0,7$, tedy $[y]=\frac{116-7[x]}{2}$.

Odečtením rovnic dostáváme $2[x]=24,1+5 x_{0}$. Protože $0 \leqq 5 x_{0}<5$, může $[x]$ nabývat pouze hodnot 13 a 14 . Aby bylo $[y]$ celé, musí být $[x]$ navíc sudé číslo. Potom dostáváme

$[x]$	$x_{0}$	$[y]$	$x$	$y$
14	0,78	9	14,78	9,7

Soustava má tři řešení: $x=13,18, y=13,2 ; x=15,98, y=6,2$ a $x=14,78$, $y=9,7$.

JINÉ ŘEŠENÍ. Z první rovnice dané soustavy plyne, že zlomková část čísla $y$ je bud' 0,2 , nebo 0,7 . Podobně $\mathrm{z}$ druhé rovnice usoudíme, že zlomková část čísla $x$ je rovna bud' číslu $0,18(=0,9: 5)$, nebo číslu $0,18+0,2 k$ pro vhodné $k \in{1,2,3,4}$. Jedna (z desíti) možností tedy je, že $x=[x]+0,18$ a $y=[y]+$ $+0,2$. Tehdy po dosazení dostaneme pro (celočíselné) neznámé $[x],[y]$ soustavu $7[x]+2[y]=117,5[x]+2[y]=91$, která má jediné řešení $[x]=[y]=13$. Podobně se posoudí ostatních devět možností, v sedmi z nich vyjde pro neznámé $[x],[y]$ soustava bez celočíselných řešení. Celou diskusi lze poněkud zkrátit, a to tak, že nejprve obecně dosadíme $x=[x]+0,18+0,2 k$ a $y=[y]+0,2+0,5 j$ (kde $k \in{0,1,2,3,4}$ a $j \in{0,1})$, vypočteme $[x]=13+\frac{1}{2}(k-j)$ a $[y]=13+j-$ $-2 k+\frac{1}{4}(k+j)$, odkud už snadno určíme vyhovující dvojice $(k, j):(0,0),(4,0)$ a $(3,1)$.

NÁVODNÉ ÚLOHY:

1. Načrtněte grafy funkcí (na intervalu $\langle-10,10\rangle$ )

$$y=[x],y=[2x],y=[x-6,3],y=x+[x],y=x\cdot [x]\mathrm{.}y=[x],\; \backslash quad\; y=[2\; x],\; \backslash quad\; y=[x-6,3],\; \backslash quad\; y=x+[x],\; \backslash quad\; y=x\; \backslash cdot[x]\; .$$

2. V oboru kladných reálných čísel řešte rovnici a) $x+[x]=68,5$ b) $x \cdot[x]=68,5$; c) $x+[x]=97$; d) $x \cdot[x]=97$.

[a) $x=34,5$; b) $x=8,5625$ - nejprve vysvětlete, proč $8<x<9$; c) a d) nemá řešení.]

ROZŠIŘUJÍcí ÚLOHY:

1. Najděte aspoň jednu dvojici celých čísel $a, b$ tak, aby pro každé celé číslo $x$ platilo

$$\left[\frac{x+a}{5}\right]+\left[\frac{x+b}{5}\right]=\left[\frac{2x}{5}\right]\backslash left[\backslash frac\{x+a\}\{5\}\backslash right]+\backslash left[\backslash frac\{x+b\}\{5\}\backslash right]=\backslash left[\backslash frac\{2\; x\}\{5\}\backslash right]$$

[Např. $a=0, b=2(40-\mathrm{B}-\mathrm{S}-2)$.

2. Je funkce $y=x^{2}-\left[x^{2}\right]$ periodická? Pokud ano, určete její periodu. [Není.]
3. Sestrojte deltoid se stranami $12 \mathrm{cm}$ a $13 \mathrm{cm}$, který je svými úhlopřičkami rozdělen na čtyři trojúhelníky, jež jsou čtyřmi stěnami nějakého čtyřstěnu. Zhotovte papírový model tohoto čtyřstěnu.

ŘEŠENí. Na obr. 3 je znázorněn výchozí deltoid, na obr. 4 sít odpovídajícího čtyřstěnu. Z pravoúhlých trojúhelníků plynou pro úseky $x, y$ a $z$ úhlopřiček deltoidu nerovnosti

$$12>x,12>y,13>z>y\mathrm{.}12>x,\; \backslash quad\; 12>y,\; \backslash quad\; 13>z>y\; .$$

Obr. 3

Obr. 4

Nutně tedy musí být trojúhelník $T_{1}$ shodný s trojúhelníkem $A E D(A B$ a $A D$ jsou nejdelší ze všech stran uvažovaných trojúhelníků). Mohou nastat dva případy:

a) Necht $k=z$ a $m=x$ (obr. 5). V tom případě se musí shodovat trojúhelníky se stranami $x, y, 12$ a $x, z, n$. Protože $y<z$, musí být $n=y$ a $z=12$. Potom $x=\sqrt{13^{2}-z^{2}}=5$.

Obr. 5

Obr. 6

Obr. 7

Sít pak bude mít tvar uvedený na obr. 6 a kýžený čtyřstěn $A E B V$ zřejmě existuje: dostaneme ho tak, že trojúhelník $A E V$ otočíme kolem přímky $A E$ o $90^{\circ}$ (tělesová výška z vrcholu $V$ bude ležet ve stěně $A V E$ ).

Konstrukce odpovídajícího deltoidu je zřejmá, např.

1. $\triangle A B E$; podle věty sss: $|A B|=13 \mathrm{cm},|B E|=5 \mathrm{cm}$ a $|E A|=12 \mathrm{~cm}$.
2. $\triangle E B C$; podle věty $S s u:|\Varangle C E B|=90^{\circ},|B C|=12 \mathrm{~cm}$ a $C \notin \overrightarrow{E A}$.
3. $D ; E$ je střed úsečky $D B$.

b) Necht $k=x$ a $m=z$ (obr.7). Pak se ale musí rovnoramenné trojúhelníky o stranách $z, z, n$ a $x, x, n$ shodovat $\mathrm{s}$ pravoúhlým trojúhelníkem s odvěsnami $x, y$ a přeponou 12 . Odtud plyne $x=y=z$ a $m=n=12$, což je ve sporu s nerovnostmi $(*)$.

Úloha má tedy jediné řešení popsané v části a).

NÁVODNÉ ÚLOHY:

1. Na nitce je zavěšeno kmitající závaží. Síř̌a rozkmitu je $56 \mathrm{cm}$, výškový rozdíl mezi nejnižší a nejvyšší polohou závaží je $8 \mathrm{cm}$. Vypočítejte délku $r$ závěsu. $[r=53 \mathrm{~cm}]$
2. Řešte původně zadanou úlohu (pro deltoid) pro a) čtverec se stranou $12 \mathrm{cm}$, b) obdélník se stranami $12 \mathrm{cm}$ a $13 \mathrm{cm}$, c) kosočtverec se stranou $12 \mathrm{cm}$, d) kosodélník se stranami $12 \mathrm{cm}$ a $13 \mathrm{cm}$.

ROZŠIŘUJÍCÍ ÚLOHY:

1. Jeník rozřezal konvexní papírový mnohostěn na jednotlivé stěny (podél hran) a poslal je Frantíkovi. Frantík opět z těchto stěn slepil konvexní mnohostěn. Je možné, že Janův a Františkův mnohostěn nebyly shodné? [Uvažte např. těleso, které dostanete spojením dvou shodných jehlanů s pravidelnou podstavou, které však nejsou pravidelné (kolmý průmět jejich vrcholu nepadne do středu podstavy).]
2. Nad stranami ostroúhlého trojúhelníku $A B C$ jsou zvnějšku sestrojeny půlkružnice. Označme po řadě $K, L, M$ průsečíky prodloužených výšek trojúhelníku z vrcholů $A, B, C$ s těmito půlkružnicemi. Dokažte, že obrazec $A M B K C L$ tvoří plášt čtyřstěnu (trojbokého jehlanu s podstavou $A B C$ ). $[46-\mathrm{B}-\mathrm{I}-6]$