| # Úlohy domácího kola kategorie $\mathrm{C}$ |
|
|
| 1. Pro libovolné trojciferné čislo určíme jeho zbytky při dělení čisly 2, 3, 4, ..., 10 a získaných devět čisel pak sečteme. Zjistěte nejmenši možnou hodnotu takového součtu. |
|
|
| ŘEŠENí. Označme $S(n)$ součet uvedených zbytků trojciferného čísla $n$. Vysvětlíme, proč $S(n) \geqq 3$. |
|
|
| - Pro liché $n$ je $S(n) \geqq 5$ (uvažte zbytky při dělení sudými čísly $2,4,6,8$, 10). Dále tedy necht $n$ je sudé. |
| - Pokud $4 \nmid n$, tak $S(n) \geqq 4$ ( $n$ dává při dělení čísly 4 a 8 zbytek aspoň 2 ). Necht̀ $n$ je dále dělitelné čtyřmi. |
| - Pokud $8 \nmid n, \operatorname{tak} S(n) \geqq 4$ (zbytek 4 při dělení číslem 8 ). Proto necht̉ je dále $n$ dělitelné osmi. |
| - Pokud $3 \nmid n$, tak $S(n) \geqq 3$ ( $n$ dává při dělení čísly $3,6,9$ zbytek aspoň 1 ). Necht́ je dále $n$ dělitelné osmi a třemi. |
| - Pokud $9 \nmid n$, tak $S(n) \geqq 3$ (zbytek aspoň 3 při dělení číslem 9 ). Necht dále $8 \mid n$ a $9 \mid n$. |
| - Pokud $5 \nmid n, \operatorname{tak} S(n) \geqq 3$ (zbytek aspoň 1 při dělení číslem 5 a zbytek aspoň 2 při dělení číslem 10). |
|
|
| Předpokládejme proto, že $5|n, 8| n$ a $9 \mid n$. Pak přicházejí do úvahy už jen čísla 360 a 720 , pro něž $S(360)=3$ a $S(720)=9$. Tím je nerovnost $S(n) \geqq 3$ dokázaná. Zároveň jsme zjistili, že $S(n)=3$ např. pro $n=360$. (Je také $S(840)=3$.) |
|
|
| JINÉ ŘEŠENí. Uvažujme jen ten případ, kdy číslo $n$ není dělitelné nejvýše dvěma z čísel $2,3, \ldots, 10$ (jinak $S(n) \geqq 3$ ). Pokud je tento „nedělitel" jediný, je to nutně číslo 7 (musí to být prvočíslo, jehož dvojnásobek je větší než 10), takže $360 \mid n$. Pokud jsou takoví „nedělitelé“ dva, musí to být některá z dvojic 5 a 10,8 a 9,7 a 8,7 a 9,4 a 8 . V každém případě $6 \mid n$, takže snadno ukážeme, že jeden z obou kladných zbytků je větší než 1 , tedy $S(n) \geqq 3$. |
|
|
| NÁVODNÉ ÚLOHY: |
|
|
| 1. Jaké jsou všechny možné součty zbytků čísla po dělení čísly 3,6 a 9 ? |
| 2. Najděte všechna čtyřmístná čísla, která po dělení čísly $4,5,6,7$ a 8 dávají zbytky |
| a) $1,1,1,1,1$; |
| b) $3,4,5,6,7$; |
| c) $1,1,1,4,1$. |
|
|
| ROZŠIŘUJÍCÍ ÚLOHA: |
|
|
| Určete všechna pěticiferná čísla $A$ s následující vlastností: zapíšeme-li za sebou (zleva doprava) zbytky, které dává číslo $A$ po dělení čisly $2,3,4,5$ a 6 , dostaneme opět původní číslo $A$. [11 311 (45-C-S-3)] |
|
|
| 2. Najděte všechny trojúhelniky $A B C$, pro které platí $a+v_{a}=b+v_{b}$ při obvyklém označení stran a výšek trojúhelniku. |
|
|
| ŘEŠENí. Pro obsah $S$ trojúhelníku $A B C$ platí |
|
|
| $$ |
| S=\frac{a \cdot v_{a}}{2}=\frac{b \cdot v_{b}}{2} |
| $$ |
|
|
| Po dosazení do dané rovnosti dostaneme rovnost $a+\frac{2 S}{a}=b+\frac{2 S}{b}$. Jednoduchou úpravou odtud dále plyne $a-b=2 S \frac{a-b}{a b}$, neboli $(a-b)(a b-2 S)=0$. Je tedy bud' $a=b$ (a tedy $v_{a}=v_{b}$ ), nebo $S=\frac{a b}{2}$ ( $\mathrm{tj} \cdot v_{a}=b$, úhel $A C B$ je pravý a $\left.v_{b}=a\right)$. Snadno se přesvědčíme, že oba případy vyhovují. |
|
|
| Podmínce úlohy vyhovují všechny rovnoramenné trojúhelníky se základnou $A B$ a všechny pravoúhlé trojúhelníky s přeponou $A B$ (a žádné jiné). |
|
|
| NÁVODNÉ ÚLOHY: |
|
|
| 1. Určete všechny trojúhelníky $A B C$, pro jejichž obsah $S$ platí $8 S^{2}=b^{2} c^{2}$. |
| 2. Určete všechny trojúhelníky $A B C$, v nichž pro velikosti stran a výšek platí |
| a) $a+\frac{1}{v_{a}}=c+\frac{1}{v_{c}} ;$ |
| b) $a+\frac{1}{v_{c}}=c+\frac{1}{v_{a}}$. |
|
|
| [a) $a=c$; b) $a=c$ nebo $S=\frac{1}{2}$.] |
|
|
| ROZŠIŘUJÍcí ÚLOHA: |
|
|
| Je dáno přirozené číslo $n$. Určete všechny trojúhelníky $A B C$, pro něž platí |
|
|
| $$ |
| a^{n}+v_{a}^{n}=c^{n}+v_{c}^{n} . |
| $$ |
|
|
| [Jedině trojúhelníky, v nichž $a=c$, anebo jež mají pravý úhel při vrcholu $B$.] |
|
|
| 3. Sto dětí se rozdělilo do tří družstev $A, B$ a $C$. Poté, co jedno dítě přestoupilo $z A$ do $B$, jedno $z B$ do $C$ a jedno $z C$ do $A$, se prümérná hmotnost dětí zvýšila $v$ družstvu $A$ o $120 \mathrm{~g}$, $v$ družstvu $B$ o $130 \mathrm{~g}$, zatímco $v$ družstvu C se snižila o $240 \mathrm{~g}$. Kolik dětí bylo v jednotlivých družstvech? |
|
|
| ŘEŠEní. Označme $a, b$ a $c$ po řadě počty dětí v družstvech $A, B$ a $C$, dále neché $\bar{a}, \bar{b}$ a $\bar{c}$ je po řadě průměrná hmotnost ( $\mathrm{v}$ gramech) dětí $\mathrm{v}$ družstvech $A, B$ a $C$ před výměnou. Nakonec označme $a_{1}, b_{1}$ a $c_{1}$ po řadě hmotnost (v gramech) dítěte, které přestoupilo z $A$ do $B$, z $B$ do $C$ a z $C$ do $A$. |
| |
| Celková hmotnost dětí v družstvu $A$ byla pred výměnou $a \cdot \bar{a}$. Z podmínky v zadání sestavíme následující rovnici |
| |
| $$ |
| \frac{a \cdot \bar{a}-a_{1}+c_{1}}{a}=\bar{a}+120 . |
| $$ |
| |
| Po jednoduché úpravě vyjde |
| |
| $$ |
| -a_{1}+c_{1}=120 a \text {. } |
| $$ |
| |
| Obdobně dostaneme i |
| |
| $$ |
| -b_{1}+a_{1}=130 b \quad \text { a } \quad-c_{1}+b_{1}=-240 c |
| $$ |
| |
| Sečtením těchto tří rovnic dostaneme (po vydělení deseti a dalších úpravách) |
| |
| $$ |
| \begin{aligned} |
| 12 a+13 b & =24 c=24(100-a-b), \\ |
| 36 a+37 b & =2400, \\ |
| 36(a+b)+b & =2400=36 \cdot 66+24 . |
| \end{aligned} |
| $$ |
| |
| Z podmínky $0<b<100$ a poslední rovnice vyplývá, že mohou nastat jen tři následující případy: |
| a) $a+b=66, b=24$; |
| b) $a+b=65, b=60$; |
| c) $a+b=64, b=96$. |
| |
| A zřejmě jen prvé dva vedou k přípustným řešením $(a>0)$. Ještě ověříme, zda obě získaná řešení skutečně vyhovují podmínkám úlohy. $V$ případě a) máme $a=42, b=24, c=34 ; c_{1}-a_{1}=5040$ a $a_{1}-b_{1}=3120$, zatímco v prípadě $\left.\mathrm{b}\right)$ máme $a=5, b=60, c=35 ; c_{1}-a_{1}=600$ a $a_{1}-b_{1}=7800$. Tyto výsledky zřejmě mohou odpovídat reálné situaci. |
| |
| Odpověd': Počty dětí v družstvech $A, B, C$ byly po řadě bud' $42,24,34$, anebo $5,60,35$. |
| |
| ## NÁVODNÉ ÚLOHY: |
| |
| 1. V oboru přirozených čísel řešte rovnici |
| a) $7 x+8 y=163$; |
| b) $7 x+8 y=1998$. |
| |
| [a) $x=21-8 s, y=2+7 s, s \in\{0,1,2\}$; b) $x=282-8 s, y=3+7 s$, $s \in\{0,1, \ldots, 35\}$.] |
| |
| 2. Průměrná výška skupiny děvčat je $165 \mathrm{~cm}$. Když k nim přibyla Jana, jejíž výška je menší než $2 \mathrm{~m}$, zvětšila se průměrná výška ve skupině na $171 \mathrm{~cm}$. Kolik nejméně a kolik nejvýše děvčat může být po jejím příchodu ve skupině? [Nejméně 2, nejvýše 5.] |
| |
| ROZŠIŘUJÍCÍ ÚLOHA: |
| |
| Opravte číslo na pravé straně jedné z rovnic $x+2 y=43,2 x+y=50, x+y=30$, $x-y=4$ tak, aby opravená soustava měla řešení $\mathrm{v}$ oboru reálných čísel. Napište opravenou soustavu a její řešení. $[2 x+y=47, x=17, y=13(38-\mathrm{C}-\mathrm{S}-2)]$ |
| |
| 4. Uvnitř daného pravoúhlého rovnoramenného trojúhelníku $A B C$ s přeponou $A B$ zvolíme libovolně bod $X$. Sestrojíme přimky $p$ a q, které procházeji |
| |
|  |
| úsečku $K L$, na přímce q úsečku $M N$. Určete všechny body $X$, pro které platí $|K L|=2 \cdot|M N|$. |
| |
|  |
| |
| Obr. 1 |
| |
|  |
| |
| Obr. 2 |
| |
| ŘEŠENí. Označme $R$ průsečík přímky $p$ s výškou $C D$ trojúhelníku $A B C$ (obr.1) a $M$ průsečík přímky $q$ s preponou $A B$. Předpokládejme, že bod $N$ leží na straně $A C$ (případ, kdy leží na straně $B C$, vyřešíme díky souměrnosti trojúhelníku $A B C$ podle osy $C D$ analogicky). Protože $|K L|=2 \cdot|R C|$, požadovaná rovnost $|K L|=2 \cdot|M N|$ platí, právě když $|R C|=|M N|$, tj. právě když $M R \| N C$, tj. právě když $M D R X$ je čtverec. Proto $D X$ je osa úhlu $A D C$ kolmá na $A C$, a tedy $X$ leží uvnitř úsečky $D E$, kde $E$ je střed strany $A C$, neboli uvnitř střední přičky trojúhelníku $A B C$ rovnoběžné $\mathrm{s} B C$. $\mathrm{Z}$ uvedeného je jasné, že každý vnitřní bod této přičky vyhovuje zadání (krajní body $D$ a $E$ nevyhovují, protože nás zajímají jen body $X$ uvnitř trojúhelníku $A B C$ ). Obdobně pro bod $N$ na straně $B C$ dostaneme vnitřek střední přičky $D F$ (obr. 1). |
| |
| Odpověd: Hledanou množinu tvoří všechny vnitřní body dvou středních přiček trojúhelníku $A B C$, jež jsou rovnoběžné s jeho odvěsnami. |
| |
| JINÉ ŘEŠENí. Trojúhelník $A B C$ doplňme na čtverec $A E B C$ (obr. 2). Hledáme ty body $X$ uvnitř trojúhelníku $A B C$, pro něž popsané přímky $p$ a $q$ vytínají na čtverci $A E B C$ dvě shodné úsečky $K L$ a $N N^{\prime}$. Pak ale musí být trojúhelníky $K L C$ a $N^{\prime} N A$ dva shodné rovnoramenné pravoúhlé trojúhelníky, to znamená, že přímky $p$ a $q$ jsou souměrně sdružené podle osy strany $A C$ čtverce, tj. bod $X$ leží na této ose. Podobně pro bod $N$ ležící na straně $B C$ dostaneme, že bod $X$ musí ležet na ose strany $B C$. |
| |
| NÁVODNÉ ÚLOHY: |
| |
| 1. Necht $S$ je střed strany $A B$ rovnostranného trojúhelníku $A B C$ se stranou $a=|B C|=10 \mathrm{~cm}$. Označme $X$ takový bod trojúhelníku $A B C$, který je od přímek $C S$ a $A B$ vzdálený po řadě $2 \mathrm{~cm}$ a $3 \mathrm{~cm}$. Ved’me bodem $X$ rovnoběžky s $A B$ a $C S$. Ty protnou obvod trojúhelníku $A B C$ ve čtyřech bodech. Vypočítejte obsah čtyřúhelníku určeného těmito čtyřmi body. $\left[(15 \sqrt{3}-9) \mathrm{cm}^{2}\right]$ |
| 2. Je dán ostroúhlý trojúhelník $A B C$ a jeho libovolný bod $X$. Bodem $X$ ved'me přímku kolmou na $A C$ a její průsečík se stranou $A C$ označme $M$. Její druhý průsečík s obvodem trojúhelníku $A B C$ označme $N$. Popište všechny ty body $X$, pro něž platí $|M X|=|N X|$. [Sjednocení úseček $A U$ a $C U$, kde $U$ je střed výšky z vrcholu $B$ na stranu $A C$.] |
| |
|  |
| |
| $$ |
| \begin{aligned} |
| 7[x]+2 y & =117,4 \\ |
| 5 x+2[y] & =91,9 |
| \end{aligned} |
| $$ |
| |
| $k d e[a]$ je tzv. celá část reálného čisla $a, t j$. celé číslo, pro které platí $[a] \leqq$ $\leqq a<[a]+1$. Např́klad $[3,7]=3 a[-3,7]=-4$. |
| |
| ŘEŠENí. Necht $x-[x]=x_{0}$ a $y-[y]=y_{0}$, kde $x_{0}, y_{0}\left(0 \leqq x_{0}, y_{0}<1\right)$ jsou tzv. zlomkové části čísel $x, y$. Daná soustava tak přejde na tvar |
| |
| $$ |
| \begin{aligned} |
| & 7[x]+2[y]=117,4-2 y_{0} \\ |
| & 5[x]+2[y]=91,9-5 x_{0} . |
| \end{aligned} |
| $$ |
| |
| V obou rovnicích musí být na pravých stranách celá čísla, proto $y_{0}$ může nabývat pouze hodnot 0,2 nebo 0,7 . Rozeberme oba tyto př́ípady: |
|
|
| a) Necht $y_{0}=0,2$, tedy $[y]=\frac{117-7[x]}{2}$. |
| |
| Odečtením rovnic dostáváme $2[x]=25,1+5 x_{0}$. Protože $0 \leqq 5 x_{0}<5$, může $[x]$ nabývat pouze hodnot 13,14 a 15 . Aby bylo $[y]$ celé, musí být $[x]$ navíc liché číslo. Potom dostáváme |
| |
| | $[x]$ | $x_{0}$ | $[y]$ | $x$ | $y$ | |
| | :---: | :--- | :---: | :---: | :---: | |
| | 13 | 0,18 | 13 | 13,18 | 13,2 | |
| | 15 | 0,98 | 6 | 15,98 | 6,2 | |
|
|
| b) Necht $y_{0}=0,7$, tedy $[y]=\frac{116-7[x]}{2}$. |
| |
| Odečtením rovnic dostáváme $2[x]=24,1+5 x_{0}$. Protože $0 \leqq 5 x_{0}<5$, může $[x]$ nabývat pouze hodnot 13 a 14 . Aby bylo $[y]$ celé, musí být $[x]$ navíc sudé číslo. Potom dostáváme |
| |
| | $[x]$ | $x_{0}$ | $[y]$ | $x$ | $y$ | |
| | :--- | :--- | :---: | :---: | :---: | |
| | 14 | 0,78 | 9 | 14,78 | 9,7 | |
|
|
| Soustava má tři řešení: $x=13,18, y=13,2 ; x=15,98, y=6,2$ a $x=14,78$, $y=9,7$. |
|
|
| JINÉ ŘEŠENÍ. Z první rovnice dané soustavy plyne, že zlomková část čísla $y$ je bud' 0,2 , nebo 0,7 . Podobně $\mathrm{z}$ druhé rovnice usoudíme, že zlomková část čísla $x$ je rovna bud' číslu $0,18(=0,9: 5)$, nebo číslu $0,18+0,2 k$ pro vhodné $k \in\{1,2,3,4\}$. Jedna (z desíti) možností tedy je, že $x=[x]+0,18$ a $y=[y]+$ $+0,2$. Tehdy po dosazení dostaneme pro (celočíselné) neznámé $[x],[y]$ soustavu $7[x]+2[y]=117,5[x]+2[y]=91$, která má jediné řešení $[x]=[y]=13$. Podobně se posoudí ostatních devět možností, v sedmi z nich vyjde pro neznámé $[x],[y]$ soustava bez celočíselných řešení. Celou diskusi lze poněkud zkrátit, a to tak, že nejprve obecně dosadíme $x=[x]+0,18+0,2 k$ a $y=[y]+0,2+0,5 j$ (kde $k \in\{0,1,2,3,4\}$ a $j \in\{0,1\})$, vypočteme $[x]=13+\frac{1}{2}(k-j)$ a $[y]=13+j-$ $-2 k+\frac{1}{4}(k+j)$, odkud už snadno určíme vyhovující dvojice $(k, j):(0,0),(4,0)$ a $(3,1)$. |
|
|
| ## NÁVODNÉ ÚLOHY: |
|
|
| 1. Načrtněte grafy funkcí (na intervalu $\langle-10,10\rangle$ ) |
|
|
| $$ |
| y=[x], \quad y=[2 x], \quad y=[x-6,3], \quad y=x+[x], \quad y=x \cdot[x] . |
| $$ |
|
|
| 2. V oboru kladných reálných čísel řešte rovnici |
| a) $x+[x]=68,5$ |
| b) $x \cdot[x]=68,5$; |
| c) $x+[x]=97$; |
| d) $x \cdot[x]=97$. |
|
|
| [a) $x=34,5$; b) $x=8,5625$ - nejprve vysvětlete, proč $8<x<9$; c) a d) nemá řešení.] |
| |
| ROZŠIŘUJÍcí ÚLOHY: |
| |
| 1. Najděte aspoň jednu dvojici celých čísel $a, b$ tak, aby pro každé celé číslo $x$ platilo |
| |
| $$ |
| \left[\frac{x+a}{5}\right]+\left[\frac{x+b}{5}\right]=\left[\frac{2 x}{5}\right] |
| $$ |
| |
| [Např. $a=0, b=2(40-\mathrm{B}-\mathrm{S}-2)$. |
| |
| 2. Je funkce $y=x^{2}-\left[x^{2}\right]$ periodická? Pokud ano, určete její periodu. [Není.] |
| 3. Sestrojte deltoid se stranami $12 \mathrm{~cm}$ a $13 \mathrm{~cm}$, který je svými úhlopřičkami rozdělen na čtyři trojúhelníky, jež jsou čtyřmi stěnami nějakého čtyřstěnu. Zhotovte papírový model tohoto čtyřstěnu. |
| |
| ŘEŠENí. Na obr. 3 je znázorněn výchozí deltoid, na obr. 4 sít odpovídajícího čtyřstěnu. Z pravoúhlých trojúhelníků plynou pro úseky $x, y$ a $z$ úhlopřiček deltoidu nerovnosti |
| |
| $$ |
| 12>x, \quad 12>y, \quad 13>z>y . |
| $$ |
|
|
|  |
|
|
| Obr. 3 |
|
|
|  |
|
|
| Obr. 4 |
|
|
| Nutně tedy musí být trojúhelník $T_{1}$ shodný s trojúhelníkem $A E D(A B$ a $A D$ jsou nejdelší ze všech stran uvažovaných trojúhelníků). Mohou nastat dva případy: |
| |
| a) Necht $k=z$ a $m=x$ (obr. 5). V tom případě se musí shodovat trojúhelníky se stranami $x, y, 12$ a $x, z, n$. Protože $y<z$, musí být $n=y$ a $z=12$. Potom $x=\sqrt{13^{2}-z^{2}}=5$. |
| |
|  |
| |
| Obr. 5 |
| |
|  |
| |
| Obr. 6 |
| |
|  |
| |
| Obr. 7 |
| |
| Sít pak bude mít tvar uvedený na obr. 6 a kýžený čtyřstěn $A E B V$ zřejmě |
| existuje: dostaneme ho tak, že trojúhelník $A E V$ otočíme kolem přímky $A E$ o $90^{\circ}$ (tělesová výška z vrcholu $V$ bude ležet ve stěně $A V E$ ). |
| |
| Konstrukce odpovídajícího deltoidu je zřejmá, např. |
| |
| 1. $\triangle A B E$; podle věty sss: $|A B|=13 \mathrm{~cm},|B E|=5 \mathrm{~cm}$ a $|E A|=12 \mathrm{~cm}$. |
| 2. $\triangle E B C$; podle věty $S s u:|\Varangle C E B|=90^{\circ},|B C|=12 \mathrm{~cm}$ a $C \notin \overrightarrow{E A}$. |
| 3. $D ; E$ je střed úsečky $D B$. |
| |
| b) Necht $k=x$ a $m=z$ (obr.7). Pak se ale musí rovnoramenné trojúhelníky o stranách $z, z, n$ a $x, x, n$ shodovat $\mathrm{s}$ pravoúhlým trojúhelníkem s odvěsnami $x, y$ a přeponou 12 . Odtud plyne $x=y=z$ a $m=n=12$, což je ve sporu s nerovnostmi $(*)$. |
| |
| Úloha má tedy jediné řešení popsané v části a). |
| |
| ## NÁVODNÉ ÚLOHY: |
| |
| 1. Na nitce je zavěšeno kmitající závaží. Síř̌a rozkmitu je $56 \mathrm{~cm}$, výškový rozdíl mezi nejnižší a nejvyšší polohou závaží je $8 \mathrm{~cm}$. Vypočítejte délku $r$ závěsu. $[r=53 \mathrm{~cm}]$ |
| 2. Řešte původně zadanou úlohu (pro deltoid) pro a) čtverec se stranou $12 \mathrm{~cm}$, b) obdélník se stranami $12 \mathrm{~cm}$ a $13 \mathrm{~cm}$, c) kosočtverec se stranou $12 \mathrm{~cm}$, d) kosodélník se stranami $12 \mathrm{~cm}$ a $13 \mathrm{~cm}$. |
| |
| ## ROZŠIŘUJÍCÍ ÚLOHY: |
| |
| 1. Jeník rozřezal konvexní papírový mnohostěn na jednotlivé stěny (podél hran) a poslal je Frantíkovi. Frantík opět z těchto stěn slepil konvexní mnohostěn. Je možné, že Janův a Františkův mnohostěn nebyly shodné? [Uvažte např. těleso, které dostanete spojením dvou shodných jehlanů s pravidelnou podstavou, které však nejsou pravidelné (kolmý průmět jejich vrcholu nepadne do středu podstavy).] |
| 2. Nad stranami ostroúhlého trojúhelníku $A B C$ jsou zvnějšku sestrojeny půlkružnice. Označme po řadě $K, L, M$ průsečíky prodloužených výšek trojúhelníku z vrcholů $A, B, C$ s těmito půlkružnicemi. Dokažte, že obrazec $A M B K C L$ tvoří plášt čtyřstěnu (trojbokého jehlanu s podstavou $A B C$ ). $[46-\mathrm{B}-\mathrm{I}-6]$ |
| |
