Slovenia/md/sl-massa/sl-MaSSA_Odbirno_2018.md

Društvo matematikov, fizikov

in astronomov Slovenije

Jadranska ulica 19

1000 Ljubljana

Tekmovalne naloge DMFA Slovenije

Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije dovoljuje shranitev $v$ elektronski obliki, natis in uporabo gradiva $v$ tem dokumentu za lastne potrebe učenca/dijaka/študenta in za potrebe priprav na tekmovanje na šoli, ki jo učenec/dijak/študent obiskuje. Vsakršno drugačno reproduciranje ali distribuiranje gradiva $v$ tem dokumentu, vključno $s$ tiskanjem, kopiranjem ali shranitvijo v elektronski obliki je prepovedano.

Še posebej poudarjamo, da dokumenta ni dovoljeno javno objavljati na drugih spletnih straneh (razen na www.dmfa.si), dovoljeno pa je dokument hraniti na npr. spletnih učilnicah šole, če dokument ni javno dostopen.

62. matematično tekmovanje srednješolcev Slovenije

Odbirno tekmovanje, 15. marec 2018

Naloge za 1. letnik

Čas reševanja: 45 minut.

B1. Poišči vsa realna števila $x$, ki rešijo neenačbo

B2. Pokaži, da je izraz $2^{2 n+3}+3^{n+2} \cdot 7^{n}$ deljiv s 17 za vsako naravno število $n$.

62. matematično tekmovanje srednješolcev Slovenije

Odbirno tekmovanje, 15. marec 2018

Naloge za 2. letnik

Čas reševanja: 45 minut.

B1. Poišči vsa cela števila $z$, za katera je tudi $\frac{5 z^{2}+3}{z-1}$ celo število.

(20 točk)

B2. Dana sta dva enako dolga vektorja $\frac{1}{3} \vec{a}+\vec{b}$ in $\frac{2}{3} \vec{a}+\vec{b}$, kjer sta $\vec{a}$ in $\vec{b}$ neničelna vektorja, za katera velja $|\vec{a}|=\sqrt{3}|\vec{b}|$.

(a) Izračunaj velikost kota med vektorjema $\vec{a}$ in $\vec{b}$.

(b) Izračunaj velikost kota med vektorjema $\frac{1}{3} \vec{a}+\vec{b}$ in $\frac{2}{3} \vec{a}+\vec{b}$.

62. matematično tekmovanje srednješolcev Slovenije

Odbirno tekmovanje, 15. marec 2018

Naloge za 3. letnik

Čas reševanja: 45 minut.

B1. Poišči vsa naravna števila $n$, za katera je

$$\frac{100n^5-n^4-50n^3+2n^2-290n-2}{n^2-2}\backslash frac\{100\; n^\{5\}-n^\{4\}-50\; n^\{3\}+2\; n^\{2\}-290\; n-2\}\{n^\{2\}-2\}$$

celo število.

(20 točk)

B2. Poišči vsa realna števila $x$, ki rešijo enačbo

$$\sqrt{{\log }_{2}x}-{\log }_2(\sqrt{2}x)+\frac{5}{2}=0\backslash sqrt\{\backslash log\; \_\{2\}\; x\}-\backslash log\; \_\{2\}(\backslash sqrt\{2\}\; x)+\backslash frac\{5\}\{2\}=0$$

62. matematično tekmovanje srednješolcev Slovenije

Odbirno tekmovanje, 15. marec 2018

Naloge za 4. letnik

Čas reševanja: 45 minut.

B1. Poišči vsa realna števila $x$, za katera je vrednost funkcije

$$f(x)=\sqrt{\frac{15x^2+2}{3x^2+5}}f(x)=\backslash sqrt\{\backslash frac\{15\; x^\{2\}+2\}\{3\; x^\{2\}+5\}\}$$

celo število.

(20 točk)

B2. Naj bodo $x, y$ in $z$ zaporedni členi geometrijskega zaporedja. Dokaži, da velja

$$(x+y+z)(x-y+z)=x^2+y^2+z^2(x+y+z)(x-y+z)=x^\{2\}+y^\{2\}+z^\{2\}$$

62. matematično tekmovanje srednješolcev Slovenije

Odbirno tekmovanje, 15. marec 2018

Vsaka matematično pravilna in popolna rešitev je vredna $\mathbf{2 0}$ točk, tudi če je postopek reševanja drugačen kot $\mathbf{v}$ uradni rešitvi.

Rešitve za 1. letnik

B1. Obravnavamo dva primera.

Če je $x \geq 3$, je $|x-3|=x-3$, torej dobimo neenakost $\frac{2 x-3}{x+1}<1$, ki jo preoblikujemo do $\frac{x-4}{x+1}<0$. Imamo dve možnosti, bodisi je $x-4>0$ in $x+1<0$ ali pa je $x-4<0$ in $x+1>0$. V prvem primeru nimamo rešitev, saj sledi protislovje $4<x<-1$. $\mathrm{V}$ drugem primeru pa dobimo $-1<x<4$. Z upoštevanjem pogoja $x \geq 3$, dobimo rešitve $3 \leq x<4$ oziroma $x \in[3,4)$.

Če pa je $x<3$, je $|x-3|=-(x-3)$. V tem primeru dobimo neenakost $\frac{3}{x+1}<1$, ki jo preoblikujemo do $\frac{2-x}{x+1}<0$. Spet imamo dve možnosti, bodisi je $2-x>0$ in $x+1<0$ ali pa je $2-x<0$ in $x+1>0$. V prvem primeru sledi $x<-1$, v drugem primeru pa $x>2$. $Z$ upoštevanjem pogoja $x<3$, dobimo rešitve $x<-1$ in $2<x<3$ oziroma $x \in(-\infty,-1) \cup(2,3)$.

Skupna rešitev je torej $x \in(-\infty,-1) \cup(2,3) \cup[3,4)=(-\infty,-1) \cup(2,4)$.

Ločevanje primerov $x \geq 3$ ali $x<3$ (zapis ali uporaba) ...................... točka

Reševanje naloge, ko je $x \geq 3$ :

Zapis neenačbe $\frac{2 x-3}{x+1}<1$..................................................................................

Zapis rešitev $x \in{}$...............................................................................................................

Zapis možnosti $x-4<0$ in $x+1>0$............................................................................

Upoštevanje pogoja $x \geq 3$ in zapis končne rešitve $x \in[3,4) \ldots \ldots \ldots \ldots$.

Reševanje naloge, ko je $x<3$ :

Zapis rešitev $x<-1$..........................................................................................................

Upoštevanje pogoja $x<3$ in zapis končne rešitve $x \in(-\infty,-1) \cup(2,3) \ldots 1$ točka

Zapis skupne rešitve $x \in(-\infty,-1) \cup(2,3) \cup[3,4)=(-\infty,-1) \cup(2,4) \ldots \ldots 1$ točka

B2. Naj bo $n$ poljubno naravno število. Dani izraz preoblikujemo

$$2^{2n+3}+3^{n+2}\cdot 7^n=2^3\cdot 2^{2n}+3^2\cdot 3^n\cdot 7^n=8\cdot 4^n+9\cdot {21}^n=17\cdot 4^n+9\cdot ({21}^n-4^n)2^\{2\; n+3\}+3^\{n+2\}\; \backslash cdot\; 7^\{n\}=2^\{3\}\; \backslash cdot\; 2^\{2\; n\}+3^\{2\}\; \backslash cdot\; 3^\{n\}\; \backslash cdot\; 7^\{n\}=8\; \backslash cdot\; 4^\{n\}+9\; \backslash cdot\; 21^\{n\}=17\; \backslash cdot\; 4^\{n\}+9\; \backslash cdot\backslash left(21^\{n\}-4^\{n\}\backslash right)$$

Ker je prvi člen večkratnik števila 17 , zadošča dokazati, da je $21^{n}-4^{n}$ deljivo s 17 . Slednje sledi iz enakosti

$${21}^n-4^n=(21-4)({21}^{n-1}+{21}^{n-2}\cdot 4+\dots +21\cdot 4^{n-2}+4^{n-1})21^\{n\}-4^\{n\}=(21-4)\backslash left(21^\{n-1\}+21^\{n-2\}\; \backslash cdot\; 4+\backslash ldots+21\; \backslash cdot\; 4^\{n-2\}+4^\{n-1\}\backslash right)$$

Preoblikovanje izraza v $2^{3} \cdot 2^{2 n}+3^{2} \cdot 3^{n} \cdot 7^{n}$

3 točke

Zapis izraza kot $8 \cdot 4^{n}+9 \cdot 21^{n}$ 4 točke

Preoblikovanje izraza v $17 \cdot 4^{n}+9 \cdot\left(21^{n}-4^{n}\right)$ .4 točke

Razcep izraza $21^{n}-4^{n}$ .4 točke

Argumentiran sklep o deljivosti izraza s 17 5 točk

2. način. Kot pri prvi rešitvi izraz preoblikujemo do $8 \cdot 4^{n}+9 \cdot 21^{n}$. Ker je ostanek števila 21 pri deljenju s 17 enak 4 , ima število $8 \cdot 4^{n}+9 \cdot 21^{n}$ pri deljenju s 17 enak ostanek kot število $8 \cdot 4^{n}+9 \cdot 4^{n}=17 \cdot 4^{n}$. Ker je slednje deljivo s 17 je tudi prvotno število deljivo s 17 .

Preoblikovanje izraza $\mathbf{v} 2^{3} \cdot 2^{2 n}+3^{2} \cdot 3^{n} \cdot 7^{n}$ 3 točke Zapis izraza kot $8 \cdot 4^{n}+9 \cdot 21^{n}$ 4 točke Argumentiran sklep, da ima izraz $8 \cdot 4^{n}+9 \cdot 21^{n}$ pri deljenju s 17 enak ostanek kot izraz $17 \cdot 4^{n}$ 10 točk

Sklep, da je izraz deljiv s 17 3 točke

62. matematično tekmovanje srednješolcev Slovenije

Odbirno tekmovanje, 15. marec 2018

Vsaka matematično pravilna in popolna rešitev je vredna $\mathbf{2 0}$ točk, tudi če je postopek reševanja drugačen kot $v$ uradni rešitvi.

Rešitve za 2. letnik

B1. Izraz $\frac{5 z^{2}+3}{z-1}$ najprej preoblikujemo

$$\frac{5z^2+3}{z-1}=5z+\frac{5z+3}{z-1}=5z+5+\frac{8}{z-1}\backslash frac\{5\; z^\{2\}+3\}\{z-1\}=5\; z+\backslash frac\{5\; z+3\}\{z-1\}=5\; z+5+\backslash frac\{8\}\{z-1\}$$

Ker je $z$ celo število, mora biti tudi $\frac{8}{z-1}$ celo število. To pomeni, da mora biti $z-1$ en od deliteljev števila 8 . Delitelji števila 8 so $-8,-4,-2,-1,1,2,4$ in 8 , zato je $z \in{-7,-3,-1,0,2,3,5,9}$.

Ugotovitev, da mora biti $\frac{8}{z-1}$ celo število .........................................................

B2. (a) Vektorja $\frac{1}{3} \vec{a}+\vec{b}$ in $\frac{2}{3} \vec{a}+\vec{b}$ sta enako dolga, zato je $\left|\frac{1}{3} \vec{a}+\vec{b}\right|^{2}=\left|\frac{2}{3} \vec{a}+\vec{b}\right|^{2}$. Kot med vektorjema $\vec{a}$ in $\vec{b}$ označimo s $\varphi$ in poračunamo

$${\mid \frac{1}{3}\vec{a}+\vec{b}\mid }^2=(\frac{1}{3}\vec{a}+\vec{b})\cdot (\frac{1}{3}\vec{a}+\vec{b})=\frac{1}{9}\vec{a}\cdot \vec{a}+\frac{2}{3}\vec{a}\cdot \vec{b}+\vec{b}\cdot \vec{b}=\frac{1}{9}\mathrm{\mid }\vec{a}{\mathrm{\mid }}^2+\frac{2}{3}\mathrm{\mid }\vec{a}\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }\vec{b}\mathrm{\mid }\cos \phi +\mathrm{\mid }\vec{b}{\mathrm{\mid }}^2\backslash left|\backslash frac\{1\}\{3\}\; \backslash vec\{a\}+\backslash vec\{b\}\backslash right|^\{2\}=\backslash left(\backslash frac\{1\}\{3\}\; \backslash vec\{a\}+\backslash vec\{b\}\backslash right)\; \backslash cdot\backslash left(\backslash frac\{1\}\{3\}\; \backslash vec\{a\}+\backslash vec\{b\}\backslash right)=\backslash frac\{1\}\{9\}\; \backslash vec\{a\}\; \backslash cdot\; \backslash vec\{a\}+\backslash frac\{2\}\{3\}\; \backslash vec\{a\}\; \backslash cdot\; \backslash vec\{b\}+\backslash vec\{b\}\; \backslash cdot\; \backslash vec\{b\}=\backslash frac\{1\}\{9\}|\backslash vec\{a\}|^\{2\}+\backslash frac\{2\}\{3\}|\backslash vec\{a\}||\backslash vec\{b\}|\; \backslash cos\; \backslash varphi+|\backslash vec\{b\}|^\{2\}$$

Podobno dobimo še

$${\mid \frac{2}{3}\vec{a}+\vec{b}\mid }^2=\frac{4}{9}\mathrm{\mid }\vec{a}{\mathrm{\mid }}^2+\frac{4}{3}\mathrm{\mid }\vec{a}\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }\vec{b}\mathrm{\mid }\cos \phi +\mathrm{\mid }\vec{b}{\mathrm{\mid }}^2\backslash left|\backslash frac\{2\}\{3\}\; \backslash vec\{a\}+\backslash vec\{b\}\backslash right|^\{2\}=\backslash frac\{4\}\{9\}|\backslash vec\{a\}|^\{2\}+\backslash frac\{4\}\{3\}|\backslash vec\{a\}||\backslash vec\{b\}|\; \backslash cos\; \backslash varphi+|\backslash vec\{b\}|^\{2\}$$

Ker morata biti ta dva izraza enaka, sledi

$$\frac{1}{3}\mathrm{\mid }\vec{a}{\mathrm{\mid }}^2+\frac{2}{3}\mathrm{\mid }\vec{a}\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }\vec{b}\mathrm{\mid }\cos \phi =0\backslash frac\{1\}\{3\}|\backslash vec\{a\}|^\{2\}+\backslash frac\{2\}\{3\}|\backslash vec\{a\}||\backslash vec\{b\}|\; \backslash cos\; \backslash varphi=0$$

Od tod z upoštevanjem zveze $|\vec{a}|=\sqrt{3}|\vec{b}|$ izrazimo $\cos \varphi=-\frac{|\vec{a}|}{2|\vec{b}|}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$, torej je $\varphi=\frac{5 \pi}{6}$.

Ugotovitev $\left|\frac{1}{3} \vec{a}+\vec{b}\right|^{2}=\left|\frac{2}{3} \vec{a}+\vec{b}\right|^{2}$

1 točka

Izračun $\left|\frac{1}{3} \vec{a}+\vec{b}\right|^{2}=\frac{1}{9}|\vec{a}|^{2}+\frac{2}{3}|\vec{a}||\vec{b}| \cos \varphi+|\vec{b}|^{2}$ .3 točke

Izračun $\left|\frac{2}{3} \vec{a}+\vec{b}\right|^{2}=\frac{4}{9}|\vec{a}|^{2}+\frac{4}{3}|\vec{a}||\vec{b}| \cos \varphi+|\vec{b}|^{2}$ 2 točki

Zapis enakosti $\frac{1}{3}|\vec{a}|^{2}+\frac{2}{3}|\vec{a}||\vec{b}| \cos \varphi=0$ 1 točka Izračun $\cos \varphi=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ 2 točki Zapis rešitve $\varphi=\frac{5 \pi}{6}$ 1 točka.

(b) Kot med vektorjema $\frac{1}{3} \vec{a}+\vec{b}$ in $\frac{2}{3} \vec{a}+\vec{b}$ označimo z $\alpha$. Tedaj je

$$\cos \alpha =\frac{(\frac{1}{3}\vec{a}+\vec{b})\cdot (\frac{2}{3}\vec{a}+\vec{b})}{\mid \frac{1}{3}\vec{a}+\vec{b}\mid \mid \frac{2}{3}\vec{a}+\vec{b}\mid }=\frac{\frac{2}{9}\mathrm{\mid }\vec{a}{\mathrm{\mid }}^2+\vec{a}\cdot \vec{b}+\mathrm{\mid }\vec{b}{\mathrm{\mid }}^2}{{\mid \frac{2}{3}\vec{a}+\vec{b}\mid }^2}\backslash cos\; \backslash alpha=\backslash frac\{\backslash left(\backslash frac\{1\}\{3\}\; \backslash vec\{a\}+\backslash vec\{b\}\backslash right)\; \backslash cdot\backslash left(\backslash frac\{2\}\{3\}\; \backslash vec\{a\}+\backslash vec\{b\}\backslash right)\}\{\backslash left|\backslash frac\{1\}\{3\}\; \backslash vec\{a\}+\backslash vec\{b\}\backslash right|\backslash left|\backslash frac\{2\}\{3\}\; \backslash vec\{a\}+\backslash vec\{b\}\backslash right|\}=\backslash frac\{\backslash frac\{2\}\{9\}|\backslash vec\{a\}|^\{2\}+\backslash vec\{a\}\; \backslash cdot\; \backslash vec\{b\}+|\backslash vec\{b\}|^\{2\}\}\{\backslash left|\backslash frac\{2\}\{3\}\; \backslash vec\{a\}+\backslash vec\{b\}\backslash right|^\{2\}\}$$

saj je po predpostavki $\left|\frac{1}{3} \vec{a}+\vec{b}\right|=\left|\frac{2}{3} \vec{a}+\vec{b}\right|$. Z upoštevanjem enakosti (1), zveze $|\vec{a}|=\sqrt{3}|\vec{b}|$ in rezultata $\varphi=\frac{5 \pi}{6}$ iz točke (a) dobimo

$$\cos \alpha =\frac{\frac{2}{9}\mathrm{\mid }\vec{a}{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }\vec{a}\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }\vec{b}\mathrm{\mid }\cos \phi +\mathrm{\mid }\vec{b}{\mathrm{\mid }}^2}{\frac{4}{9}\mathrm{\mid }\vec{a}{\mathrm{\mid }}^2+\frac{4}{3}\mathrm{\mid }\vec{a}\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }\vec{b}\mathrm{\mid }\cos \phi +\mathrm{\mid }\vec{b}{\mathrm{\mid }}^2}=\frac{(\frac{2}{3}-\frac{3}{2}+1)\mathrm{\mid }\vec{b}{\mathrm{\mid }}^2}{(\frac{4}{3}-2+1)\mathrm{\mid }\vec{b}{\mathrm{\mid }}^2}=\frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{3}}=\frac{1}{2}\backslash cos\; \backslash alpha=\backslash frac\{\backslash frac\{2\}\{9\}|\backslash vec\{a\}|^\{2\}+|\backslash vec\{a\}||\backslash vec\{b\}|\; \backslash cos\; \backslash varphi+|\backslash vec\{b\}|^\{2\}\}\{\backslash frac\{4\}\{9\}|\backslash vec\{a\}|^\{2\}+\backslash frac\{4\}\{3\}|\backslash vec\{a\}||\backslash vec\{b\}|\; \backslash cos\; \backslash varphi+|\backslash vec\{b\}|^\{2\}\}=\backslash frac\{\backslash left(\backslash frac\{2\}\{3\}-\backslash frac\{3\}\{2\}+1\backslash right)|\backslash vec\{b\}|^\{2\}\}\{\backslash left(\backslash frac\{4\}\{3\}-2+1\backslash right)|\backslash vec\{b\}|^\{2\}\}=\backslash frac\{\backslash frac\{1\}\{6\}\}\{\backslash frac\{1\}\{3\}\}=\backslash frac\{1\}\{2\}$$

Od tod dobimo $\alpha=\frac{\pi}{3}$. Zapis $\cos \alpha=\frac{\frac{2}{9}|\vec{a}|^{2}+\vec{a} \cdot \vec{b}+|\vec{b}|^{2}}{\left|\frac{2}{3} \vec{a}+\vec{b}\right|^{2}}$ ..... 4 točke Izračun $\cos \alpha=\frac{1}{2}$ ..... 5 točk Zapis rešitve $\alpha=\frac{\pi}{3}$ ..... 1 točka

62. matematično tekmovanje srednješolcev Slovenije

Odbirno tekmovanje, 15. marec 2018

Vsaka matematično pravilna in popolna rešitev je vredna $\mathbf{2 0}$ točk, tudi če je postopek reševanja drugačen kot $v$ uradni rešitvi.

Rešitve za 3. letnik

B1. Če polinom $100 n^{5}-n^{4}-50 n^{3}+2 n^{2}-290 n-2$ delimo s polinomom $n^{2}-2$, dobimo rezultat $100 n^{3}-n^{2}+150 n$ in ostanek $10 n-2$. Torej je

$$\frac{100n^5-n^4-50n^3+2n^2-290n-2}{n^2-2}=100n^3-n^2+150n+\frac{10n-2}{n^2-2}\backslash frac\{100\; n^\{5\}-n^\{4\}-50\; n^\{3\}+2\; n^\{2\}-290\; n-2\}\{n^\{2\}-2\}=100\; n^\{3\}-n^\{2\}+150\; n+\backslash frac\{10\; n-2\}\{n^\{2\}-2\}$$

To število bo celo natanko tedaj, ko bo $\frac{10 n-2}{n^{2}-2}$ celo število. Opazimo, da je za $n>10$ števec tega ulomka manjši od imenovalca in oba sta pozitivna, zato je $0<\frac{10 n-2}{n^{2}-2}<1$. $\mathrm{V}$ tem primeru $\frac{10 n-2}{n^{2}-2}$ ni celo število. Torej mora biti $n \leq 10$. Izračunamo vrednost izraza $\frac{10 n-2}{n^{2}-2}$ za prvih 10 naravnih števil in opazimo, da dobimo celo število le, ko je $n=1,2,3,10$. Izračunan količnik $100 n^{3}-n^{2}+150 n$ ..... 2 točki Izračunan ostanek $10 n-2$ ..... 2 točki Zapis $\frac{100 n^{5}-n^{4}-50 n^{3}+2 n^{2}-290 n-2}{n^{2}-2}=100 n^{3}-n^{2}+150 n+\frac{10 n-2}{n^{2}-2}$ ..... 1 točka Ugotovitev, da mora biti $\frac{10 n-2}{n^{2}-2}$ celo število ..... 4 točke Ugotovitev, da za $n>10$ ulomek $\frac{10 n-2}{n^{2}-2}$ ni celo število ..... 3 točke Izračunana vrednost izraza $\frac{10 n-2}{n^{2}-2}$ za prvih deset naravnih števil ..... 3 točke Zapisana rešitev $n=1,2,3,10$ ..... 5 točk

B2. Z upoštevanjem zveze $\log _{2}(\sqrt{2} x)=\log _{2} \sqrt{2}+\log _{2} x=\frac{1}{2}+\log _{2} x$ dano enačbo preoblikujemo v

$$\sqrt{{\log }_{2}x}-{\log }_{2}x+2=0\backslash sqrt\{\backslash log\; \_\{2\}\; x\}-\backslash log\; \_\{2\}\; x+2=0$$

Uvedemo novo spremenljivko $t=\sqrt{\log _{2} x}$, da dobimo kvadratno enačbo

$$t-t^2+2=0t-t^\{2\}+2=0$$

Enačbo preoblikujemo $\mathrm{v} t^{2}-t-2=0$ in levo stran razstavimo $(t-2)(t+1)=0$, da dobimo rešitvi $t=-1$ in $t=2$. Prva rešitev odpade, saj mora biti $t \geq 0$, iz druge rešitve pa dobimo enačbo $\sqrt{\log _{2} x}=2$, od koder poračunamo $x=2^{4}=16$.

Preoblikovanje enačbe $\mathbf{v} \sqrt{\log _{2} x}-\log _{2} x+2=0 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \ldots$ točke

Vpeljava nove spremenljivke oz. ugotovitev, da je enačba razcepna . . . . . 3 točke

Razcep kvadratne enačbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 točki

Rešitvi $t=-1$ in $t=2$ oz. $\sqrt{\log _{2} x}=-1$ in $\sqrt{\log _{2} x}=2 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$.

Ugotovitev, da rešitev $t=-1$ oz. $\sqrt{\log _{2} x}=-1$ odpade ..................... 2 točki

62. matematično tekmovanje srednješolcev Slovenije

Odbirno tekmovanje, 15. marec 2018

Vsaka matematično pravilna in popolna rešitev je vredna 20 točk, tudi če je postopek reševanja drugačen kot $v$ uradni rešitvi.

Rešitve za 4. letnik

B1. Izraz pod korenom preoblikujemo

$$f(x)=\sqrt{\frac{15x^2+2}{3x^2+5}}=\sqrt{5-\frac{23}{3x^2+5}}f(x)=\backslash sqrt\{\backslash frac\{15\; x^\{2\}+2\}\{3\; x^\{2\}+5\}\}=\backslash sqrt\{5-\backslash frac\{23\}\{3\; x^\{2\}+5\}\}$$

Ker je $\frac{23}{3 x^{2}+5} \geq 0$, je $\frac{15 x^{2}+2}{3 x^{2}+5} \leq 5$ in zato velja $0 \leq f(x) \leq \sqrt{5}$ za vsa realna števila $x$. Tako imamo le tri možnosti $f(x)=0, f(x)=1$ ali $f(x)=2$.

Enačba $\sqrt{\frac{15 x^{2}+2}{3 x^{2}+5}}=0$ nima realnih rešitev, saj $15 x^{2}+2$ ne more biti enako 0 za nobeno realno število $x$. Enačbo $\sqrt{\frac{15 x^{2}+2}{3 x^{2}+5}}=1$ kvadriramo in odpravimo ulomke, da dobimo $15 x^{2}+2=3 x^{2}+5$. Od tod izrazimo $x^{2}=\frac{1}{4}$ oziroma $x= \pm \frac{1}{2}$. Podobno iz enačbe

Vrednost fukcije $f(x)$ je celo število takrat, ko je $x= \pm \frac{1}{2}$ ali $x= \pm \sqrt{6}$. Sklep, da je korenjenec vedno pozitiven, saj je $x$ realno število ..... 1 točka Preoblikovanje korenjenca do oblike $5-\frac{23}{3 x^{2}+5}$ ..... 2 točki Ugotovitev, da je $0 \leq f(x) \leq \sqrt{5}$ za vsa realna števila $x$ ..... 2 točki Sklep, da je $f(x)=0, f(x)=1$ ali $f(x)=2$ ..... 3 točke Preoblikovanje enačbe $f(x)=0$ do $15 x^{2}+2=0$ ..... 1 točka Sklep, da enačba $f(x)=0$ nima realnih rešitev ..... 1 točka Preoblikovanje enačbe $f(x)=1$ do $15 x^{2}+2=3 x^{2}+5$ ..... 1 točka Enačba $f(x)=1$ ima rešitvi $x= \pm \frac{1}{2}$ ..... 2 točki Preizkus rešitev ..... 2 točki Preoblikovanje enačbe $f(x)=2$ do $15 x^{2}+2=12 x^{2}+20$ ..... 1 točka Enačba $f(x)=2$ ima rešitvi $x= \pm \sqrt{6}$ ..... 2 točki Preizkus rešitev ..... 2 točki

2. način. Naj bo $f(x)=n$, kjer je $n \geq 0$ celo število. Enakost kvadriramo, da dobimo $\frac{15 x^{2}+2}{3 x^{2}+5}=n^{2}$. Odpravimo ulomke in enačbo preuredimo do $\left(15-3 n^{2}\right) x^{2}=5 n^{2}-2$. Ker je $15-3 n^{2} \neq 0$ za vsa cela števila $n$, lahko enačbo delimo z $15-3 n^{2}$, da dobimo

$$x^2=\frac{5n^2-2}{15-3n^2}x^\{2\}=\backslash frac\{5\; n^\{2\}-2\}\{15-3\; n^\{2\}\}$$

Torej mora biti $\frac{5 n^{2}-2}{15-3 n^{2}} \geq 0$. Število $n=0$ očitno ne ustreza temu pogoju, za $n \geq 1$ pa je $5 n^{2}-2>0$, zato mora biti tudi $15-3 n^{2}>0$. Od tod sledi $n^{2}<5$ oziroma $n \leq 2$. Imamo torej le dve možnosti, $n=1$ ali $n=2$. Pri $n=1$ dobimo $x^{2}=\frac{1}{4}$ oziroma $x= \pm \frac{1}{2}$, pri $n=2$ pa dobimo $x^{2}=6$ oziroma $x= \pm \sqrt{6}$. Preizkus pokaže, da so vse rešitve res prave. Zapis enačbe $f(x)=n$, kjer je $n \geq 0$ celo število ..... 1 točka Preoblikovanje enačbe do $\left(15-3 n^{2}\right) x^{2}=5 n^{2}-2$ ..... 1 točka Utemeljen sklep, da je $\frac{5 n^{2}-2}{15-3 n^{2}} \geq 0$ ..... 3 točke Ugotovitev, da število $n=0$ ne ustreza temu pogoju ..... 2 točki Ugotovitev, da za $n \geq 1$ velja $5 n^{2}-2>0$ ..... 1 točka Sklep $15-3 n^{2}>0$ ..... 1 točka Sklep $n^{2}<5$ oziroma $n \leq 2$ ..... 1 točka Preverjanje možnosti $n=1$ ..... 1 točka Rešitev $x^{2}=\frac{1}{4}$ oziroma $x= \pm \frac{1}{2}$ ..... 2 točki Preizkus rešitev ..... 2 točki Preverjanje možnosti $n=2$ ..... 1 točka Rešitev $x= \pm \sqrt{6}$ ..... 2 točki Preizkus rešitev ..... 2 točki

B2. Ker so $x, y$ in $z$ zaporedni členi geometrijskega zaporedja, velja $y^{2}=x z$. Levo stran enakosti zmnožimo in poenostavimo

$(x+y+z)(x-y+z)=x^{2}-x y+x z+x y-y^{2}+y z+x z-y z+z^{2}=x^{2}+2 x z-y^{2}+z^{2}$.

Z upoštevanjem zveze $x z=y^{2}$ dobimo

$$x^2+2xz-y^2+z^2=x^2+2y^2-y^2+z^2=x^2+y^2+z^{2}x^\{2\}+2\; x\; z-y^\{2\}+z^\{2\}=x^\{2\}+2\; y^\{2\}-y^\{2\}+z^\{2\}=x^\{2\}+y^\{2\}+z^\{2\}$$

kar je desna stran dane enakosti. S tem je enakost dokazana.

Preoblikovanje leve strani enakosti do $x^{2}+2 x z-y^{2}+z^{2} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . . .3$ točke

Preoblikovanje $x^{2}+2 x z-y^{2}+z^{2}=x^{2}+2 y^{2}-y^{2}+z^{2} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$ točke

Preoblikovanje $x^{2}+2 y^{2}-y^{2}+z^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$

Sklep, da je leva stran enakosti enaka desni ................................... 4 točke

2. način. Ker so $x, y$ in $z$ zaporedni členi geometrijskega zaporedja, jih lahko zapišemo v obliki $x=a, y=a q$ in $z=a q^{2}$, kjer je $q$ kvocient zaporedja. Slednje vstavimo v levo stran enakosti in jo poenostavimo

ter $\mathrm{v}$ desno stran enakosti

$$x^2+y^2+z^2=a^2+a^2{q}^2+a^2{q}^4=a^2(1+q^2+q^4)x^\{2\}+y^\{2\}+z^\{2\}=a^\{2\}+a^\{2\}\; q^\{2\}+a^\{2\}\; q^\{4\}=a^\{2\}\backslash left(1+q^\{2\}+q^\{4\}\backslash right)$$

Ker sta rezultata enaka, je s tem enakost dokazana. Upoštevanje $x=a, y=a q$ in $z=a q^{2}$ ..... 4 točke Preoblikovanje leve strani enakosti do $\left(a+a q+a q^{2}\right)\left(a-a q+a q^{2}\right)$ ..... 2 točki Preoblikovanje leve strani enakosti do $a^{2}\left(1+q^{2}+q^{4}\right)$ ..... 4 točke Preoblikovanje desne strani enakosti do $a^{2}+a^{2} q^{2}+a^{2} q^{4}$ ..... 2 točki Preoblikovanje desne strani enakosti do $a^{2}\left(1+q^{2}+q^{4}\right)$ ..... 4 točke Sklep, da je leva stran enakosti enaka desni ..... 4 točke