Slovenia/md/sl-massb/sl-MaSSB_Drzavno_2003.md

Društvo matematikov, fizikov

in astronomov Slovenije

Jadranska ulica 19

1000 Ljubljana

Tekmovalne naloge DMFA Slovenije

Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije dovoljuje shranitev $v$ elektronski obliki, natis in uporabo gradiva $v$ tem dokumentu za lastne potrebe učenca/dijaka/študenta in za potrebe priprav na tekmovanje na šoli, ki jo učenec/dijak/študent obiskuje. Vsakršno drugačno reproduciranje ali distribuiranje gradiva $v$ tem dokumentu, vključno $s$ tiskanjem, kopiranjem ali shranitvijo v elektronski obliki je prepovedano.

Še posebej poudarjamo, da dokumenta ni dovoljeno javno objavljati na drugih spletnih straneh (razen na www.dmfa.si), dovoljeno pa je dokument hraniti na npr. spletnih učilnicah šole, če dokument ni javno dostopen.

3. matematično tekmovanje dijakov srednjih tehniških in strokovnih sol Ljubljana, 12. april 2003

NALOGE ZA 1. LETNIK

1. Vemo, da je $A=\frac{a^{-2}-b^{-2}}{a^{-1}-b^{-1}}$

$$\text{ in }B=(\frac{a^{-1}}{a^{-1}-b^{-1}}-\frac{b^{-1}}{a^{-1}+b^{-1}})\cdot (a^{-1}-b^{-1})\cdot {(a^{-2}+b^{-2})}^{-1}\backslash text\; \{\; in\; \}\; B=\backslash left(\backslash frac\{a^\{-1\}\}\{a^\{-1\}-b^\{-1\}\}-\backslash frac\{b^\{-1\}\}\{a^\{-1\}+b^\{-1\}\}\backslash right)\; \backslash cdot\backslash left(a^\{-1\}-b^\{-1\}\backslash right)\; \backslash cdot\backslash left(a^\{-2\}+b^\{-2\}\backslash right)^\{-1\}$$

Dokaži, da je $A=B^{-1}$.

2. Trije razredi so zbirali papir. Razred $A$ je zbral $20 %$ več papirja kot razred $B$, razred $B$ pa $20 %$ manj papirja kot razred $C$. Koliko kilogramov papirja so zbrali posamezni razredi, če je skupaj zbranih $759 \mathrm{~kg}$ papirja? Zapiši odgovor.
3. Točka $T(a+\sqrt{2}, \sqrt{2}-a)$ naj bo enako oddaljena od točk $A(-\sqrt{2}, \sqrt{2})$ in $B(\sqrt{2},-\sqrt{2})$.

a) Določi vrednost parametra $a$.

b) Izračunaj ploščino trikotnika $A B T$.

4. Naloga iz zbirke LILAVATI, indijskega matematika Bhaskare:

Za zmeraj isto sem ceno kupil zate teh osem rubinov, zatem smaragdov deset in nazadnje še biserov sto, ki nosiš jih zdaj na uhanih. $\check{C}$ e zberem skupaj po enega iz vrste vsake žlahtnih kamnov teh, bo njih cena le za kovance tri manjša, kot je polovica od sto.

O, vedro dekle, če si v računanju spretna dovolj, le bř̌ povej mi, koliko je kovancev tedaj vsak od teh kamnov me stal.

5. Dokaži, da vsota petih zaporednih naravnih števil ne more biti praštevilo.

Naloge rešuj samostojno na priloženi papir, in sicer vsako nalogo na svojo stran.

Na liste se ne podpisuj, napiši le svojo šifro.

Izdelek piši s črnilom čitljivo in pregledno. Rešitev vsake naloge bo ocenjena z 0 do 6 točkami.

3. matematično tekmovanje dijakov srednjih tehniških in strokovnih sol Ljubljana, 12. april 2003

NALOGE ZA 2. LETNIK

1. Poenostavi izraz

$$(x+\sqrt[3]{3\cdot \sqrt{\frac{x^3-1}{9}+\frac{x-x^2}{3}}})\cdot (x-\sqrt{x-1})\backslash left(x+\backslash sqrt[3]\{3\; \backslash cdot\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{x^\{3\}-1\}\{9\}+\backslash frac\{x-x^\{2\}\}\{3\}\}\}\backslash right)\; \backslash cdot(x-\backslash sqrt\{x-1\})$$

2. Dani sta premici z enačbama $(1-a) x-2 a y-2=0$ in $-2 x+a y-1=0$. Določi $a$ tako, da se bosta premici sekali na simetrali lihih kvadrantov.
3. V pravilnem šestkotniku $A B C D E F$ s stranico dolžine $a$ se nosilki stranic $A F$ in $D E$ sekata v točki $T$. Natančno izračunaj dolžino daljice $B T$.
4. Dan je trapez s podatki $a=7, b=4, c=3$ in $\beta=90^{\circ}$. Izračunaj kot med diagonalama trapeza na stotinko stopinje natančno.
5. Dani funkciji $f(x)=\frac{3-2 a}{a+5} x+\frac{2 a-1}{3-a}$ določi parameter $a$ tako, da bo graf funkcije sekal ordinatno os nad koordinatnim izhodiščem in da bo funkcija padajoča.

Naloge rešuj samostojno na priloženi papir, in sicer vsako nalogo na svojo stran.

Na liste se ne podpisuj, napiši le svojo šifro.

Izdelek piši s črnilom čitljivo in pregledno. Rešitev vsake naloge bo ocenjena z 0 do 6 točkami.

Za reševanje imaš na voljo 120 min.

3. matematično tekmovanje dijakov srednjih tehniških in strokovnih sol Ljubljana, 12. april 2003

NALOGE ZA 3. LETNIK

1. Poslovodja je nabavil puloverje in zanje plačal 960 tisočakov. V trgovini jih je prodajal po 12 tisočakov. Dobiček, ki ga je ustvaril pri prodaji vseh puloverjev, je bil enak znesku, ki ga je dal za 60 puloverjev. Koliko puloverjev je nabavil? Zapiši odgovor.
2. Reši sistem enačb $3^{x} \cdot 2^{y}=648$ in $\log _{3}(x-y)=0$.
3. Reši enačbo $\log _{x}(5 \cdot \sqrt{5})-\frac{5}{4}=\left(\log _{x} \sqrt{5}\right)^{2}$.
4. Zapiši enačbo polinoma 3. stopnje (lahko tudi v razstavljeni obliki), katerega graf poteka skozi točke $A(4,-5), B(-1,0), C(0,5)$ in $D(5,0)$. Skiciraj graf polinoma.
5. Poišči vse celoštevilske rešitve enačbe $x^{2}+73=y^{2}$.

Naloge rešuj samostojno na priloženi papir, in sicer vsako nalogo na svojo stran.

Na liste se ne podpisuj, napiši le svojo šifro.

Izdelek piši s črnilom čitljivo in pregledno. Rešitev vsake naloge bo ocenjena z 0 do 6 točkami.

Za reševanje imaš na voljo 120 min.

3. matematično tekmovanje dijakov srednjih tehniških in strokovnih sol Ljubljana, 12. april 2003

NALOGE ZA 4. LETNIK

1. Dana je funkcija $f(x)=\cos x-\sin x$.

a) Pokaži, da funkcija ni niti soda niti liha.

b) Pokaži, da je $f(x)=-\sqrt{2} \sin \left(x-\frac{\pi}{4}\right)$, in zapiši zalogo vrednosti.

2. Dokaži, da sestavljajo razlike kvadratov zaporednih naravnih števil aritmetično zaporedje.
3. Ženin in nevesta sta naročila trinadstropno torto iz treh enako visokih tort na med seboj povezanih in enako oddaljenih podstavkih. Razmik med sosednjima podstavkoma je bil $11 \mathrm{cm}$, trinadstropna torta pa je bila visoka $30 \mathrm{cm}$. Spodnja torta je bila največja, premer vsake naslednje pa je bil za $6 \mathrm{~cm}$ krajši od premera prejšnje.

S trinadstropno torto sta nahranila sebe in še 28 svatov. Upoštevaj, da je vsak v povprečju pojedel $24 \mathrm{dag}$ torte in da $77 \pi \mathrm{cm}^{3}$ torte tehta $10 \mathrm{dag}$. Kolik je bil polmer spodnje (največje) torte?

4. Poišči ničle funkcije $f(x)=\sqrt{1-\cos ^{2} 2 x}$ in nariši njen graf na intervalu $[-\pi, 2 \pi]$.

Naloge rešuj samostojno na priloženi papir, in sicer vsako nalogo na svojo stran.

Na liste se ne podpisuj, napiši le svojo šifro.

Izdelek piši s črnilom čitljivo in pregledno. Rešitev vsake naloge bo ocenjena z 0 do 6 točkami.

5. Na dveh šolah so neopravičene izostanke prikazali z grafikoni. Na prvi šoli (šoli $A$ ) so podatke prikazali z dvema histogramoma:

Na drugi šoli (šoli $B$ ), na kateri je 200 dijakov, so podatke prikazali s strukturnim krogom:

a) Za vsako šolo razvrsti podatke v ustrezno preglednico.

Šola $A$ :

Razred	Število dijakov	Neopr. ure
$1 a$
$1 b$
$2 a$
$3 a$
$4 a$
$4 b$

Šola $B$ :

Frekvenčni razred	Odstotek	Število dijakov	Povprečje razreda	Zmnožek
$0-4$
$5-9$
$10-14$
$15-19$
$20-24$

b) Koliko znaša povprečno število neopravičenih ur na dijaka na posamezni šoli? Zapiši odgovor.

Rešitve nalog in točkovnik

Tekmovalec, ki je prišel po katerikoli pravilni metodi do rešitve (četudi točkovnik take ne predvideva), dobi vse možne točke.

Za pravilno metodo se upošteva vsak postopek, ki

• smiselno upošteva besedilo naloge,
• vodi $\mathrm{k}$ rešitvi problema,
• je matematično pravilen in popoln.

Tekmovalec, ki je le delno rešil nalogo, iz sicer pravilnih postopkov reševanja pa ni videti poti do končne rešitve naloge, ne more dobiti več kot polovico možnih točk.

Prvi letnik

1. Najprej poenostavimo izraz $A$ : $\frac{\frac{b^{2}-a^{2}}{a^{2} b^{2}}}{\frac{b-a}{a b}}=\frac{(b-a)(b+a)}{(b-a) a b}=\frac{b+a}{a b}$, nato pa še izraz $B$ : $\left(\frac{\frac{1}{a}}{\frac{b-a}{a b}}-\frac{\frac{1}{b}}{\frac{b+a}{a b}}\right) \cdot \frac{b-a}{a b} \cdot \frac{1}{\frac{b^{2}+a^{2}}{a^{2} b^{2}}}=\left(\frac{b}{b-a}-\frac{a}{b+a}\right) \cdot \frac{a b(b-a)}{b^{2}+a^{2}}=\frac{b^{2}+a b-a b+a^{2}}{(b-a)(b+a)} \cdot \frac{a b(b-a)}{b^{2}+a^{2}}=$ $\frac{a b}{b+a}$. Vidimo, da res velja $A=B^{-1}$.

Zapis: $A=\frac{\frac{b^{2}-a^{2}}{a^{2} b^{2}}}{\frac{b-a}{a b}}$ 1 točka

Zapis: $A=\frac{b+a}{a b}$ 1 točka

Poenostavljanje prvega oklepaja do oblike: $\frac{b}{b-a}-\frac{a}{a+b}$

1 točka

Zapis zveze: $\left(a^{-2}+b^{-2}\right)^{-1}=\frac{a^{2} b^{2}}{a^{2}+b^{2}}$.

1 točka

Zapis: $B=\frac{a b}{b+a}$

1 točka

Sklep: $A=B^{-1}$

1 točka

2. Denimo, da je razred $C$ zbral $x$ kg papirja. Tedaj je razred $B$ zbral $0.8 x \mathrm{kg}$ papirja, razred A pa $1.2 \cdot 0.8 \cdot x=0.96 x \mathrm{kg}$ papirja. Velja $x+0.8 x+0.96 x=759$, od koder izračunamo $x=275$, nato pa še $0.8 x=220$ in $0.96 x=264$. Razred $A$ je zbral $264 \mathrm{kg}$ papirja, razred $B$ $220 \mathrm{kg}$ in razred $C 275 \mathrm{~kg}$ papirja.

Odgovor ........................................................................................................

3. Da bo točka $T$ enako oddaljena od točk $A$ in $B$, mora veljati $\sqrt{(a+\sqrt{2}+\sqrt{2})^{2}+(\sqrt{2}-a-\sqrt{2})^{2}}=$ $\sqrt{(a+\sqrt{2}-\sqrt{2})^{2}+(\sqrt{2}-a+\sqrt{2})^{2}}$, od koder dobimo $a^{2}+4 a \sqrt{2}+8+a^{2}=a^{2}+8-4 a \sqrt{2}+a^{2}$ oziroma $8 a \sqrt{2}=0$ in končno $a=0$.

Točke $A, B$ in $T$ so oglišča enakokrakega pravokotnega trikotnika $s$ katetama dolžine $2 \sqrt{2}$. Ploščina tega trikotnika je $\frac{2 \sqrt{2} \cdot 2 \sqrt{2}}{2}=4$.

Zapis $\sqrt{(a+\sqrt{2}+\sqrt{2})^{2}+(\sqrt{2}-a-\sqrt{2})^{2}}=$

$\sqrt{(a+\sqrt{2}-\sqrt{2})^{2}+(\sqrt{2}-a+\sqrt{2})^{2}}$

.1 točka

Poenostavitev enakosti do oblike $8 a \sqrt{2}=0$ .1 točka

Izračun $a=0$

.1 točka

(b) Zapis obrazca za računanje ploščine trikotnika .1 točka Izračunana ploščina trikotnika: 4 .1 točka

4. Denimo, da je rubin stal $x$ kovancev, smaragd $y$ kovancev in biser $z$ kovancev. Prvi del naloge pove, da je $8 x=10 y=100 z$, od koder lahko izrazimo $x=\frac{25}{2} z$ in $y=10 z$. Besedilo drugega dela naloge prepišemo v enačbo $x+y+z=\frac{100}{2}-3$. Zapišemo torej lahko $\frac{25}{2} z+10 z+z=47$ in izrazimo $z=2$. Biser je stal 2 kovanca, smaragd 20 kovancev, rubin pa 25 kovancev.

Vpeljava neznank: $x$-rubin, $y$-smaragd, $z$-biser .......................................................................................

Izraženi dve neznanki z isto neznanko ..............................................................................

Vstavljanje izraženih neznank v enačbo .........................................................................................................

5. Če vzamemo pet zaporednih naravnih s̆tevil $n-2, n-1, n, n+1$ in $n+2$, je $n \geq 3$, vsota teh s̆tevil pa je $5 n$. S̆tevilo $5 n$ je za $n \geq 3$ sestavljeno.

Če vzamemo pet zaporednih naravnih s̆tevil $n, n+1, n+2, n+3$ in $n+4$, je $n \geq 1$, vsota teh števil pa je $5 n+10=5(n+2)$. Število $5(n+2)$ je za $n \geq 1$ sestavljeno, saj je $n+2 \geq 3$.

Sklep: produkt $5(n+2)$ je sestavljeno število.............................................................

ALI

Sklep: $5 n$ je sestavljeno število..............................................................................

Drugi letnik

1. Izraz poenostavimo: $\left(x+\sqrt[3]{3 \cdot \sqrt{\frac{x^{3}-1}{9}+\frac{x-x^{2}}{3}}}\right) \cdot(x-\sqrt{x-1})=\left(x+\sqrt[3]{3 \cdot \sqrt{\frac{x^{3}-1+3 x-3 x^{2}}{9}}}\right)$. $(x-\sqrt{x-1})=\left(x+\sqrt[6]{(x-1)^{3}}\right) \cdot(x-\sqrt{x-1})=(x+\sqrt{x-1}) \cdot(x-\sqrt{x-1})=x^{2}-x+1$.

Razširjanje na skupni imenovalec $\sqrt[3]{3 \cdot \sqrt{\frac{x^{3}-1+3 x-3 x^{2}}{9}}}$

Sklep $\sqrt[6]{3^{2} \cdot \frac{x^{3}-1+3 x-3 x^{2}}{9}}$. .1 točka

Zapis $\sqrt[6]{(x-1)^{3}}$ .1 točka

Sklep $\sqrt[6]{(x-1)^{3}}=\sqrt{x-1}$

1 točka

Množenje oklepajev

1 točka

Rezultat $x^{2}-x+1$

1 točka

2. Če je $a=0$, sta premici med seboj vzporedni (njuni enačbi sta tedaj $x-2=0$ in $2 x+1=0$ ), zato privzemimo, da $a \neq 0$. Izrazimo $y=\frac{(1-a) x-2}{2 a}$ iz prve in $y=\frac{2 x+1}{a}$ iz druge enačbe. Izenačimo dobljeni desni strani $\frac{(1-a) x-2}{2 a}=\frac{2 x+1}{a}$ in enačbo preuredimo v $(-a-3) x=4$, od koder izrazimo $x=-\frac{4}{a+3}$, če je $a \neq-3$ (prepričamo se lahko, da predstavljata dani enačbi dve vzporedni premici, če upoštevamo $a=-3$ ). Izrazimo še ordinato presečišča: $y=\frac{a-5}{a(a+3)}$. Vsaka točka na simetrali lihih kvadrantov ima absciso enako ordinati, zato mora veljati $-\frac{4}{a+3}=\frac{a-5}{a(a+3)}$, od tod pa končno dobimo $a=1$.

Enačba simetrale $y=x$ 1 točka Pretvorba na sistem dveh enačb z dvema neznankama 1 točka

Pravilno reševanje sistama dveh enačb z dvema neznankama ... 3 točke Rešitev $a=1$ 1 točka

3. S skice razberemo, da je $|D T|=2 a,|B D|$ pa je enaka dolžini dveh višin enakostraničnega trikotnika s stranico $a$, torej $|B D|=a \sqrt{3}$. Dolžino daljice $B T$ izračunamo po Pitagorovem izreku: $|B T|=\sqrt{|D T|^{2}+|B D|^{2}}=$ $\sqrt{4 a^{2}+3 a^{2}}=a \sqrt{7}$.

Skica .1 točka

Pravilno kvadriranje zveze $|B T|^{2}=(a \sqrt{3})^{2}+(2 a)^{2} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \ldots$ točka

4. Označimo $\varphi=\angle B A C$ in $\varepsilon=\angle A B D=\angle B D C$. V pravokotnih trikotnikih $A B C$ in $B C D$ dobimo $\operatorname{tg} \varphi=\frac{4}{7}$ oziroma $\operatorname{tg} \varepsilon=\frac{4}{3}$, tako da je $\varphi=29.74^{\circ}$ in $\varepsilon=53.13^{\circ}$ ter $\angle A E B=97.13^{\circ}$. Kot med diagonalama je $82.87^{\circ}$.

Skica z označenim presečiščem diagonal $\mathrm{E}$ ter

5. Dana funkcija je padajoča, če velja $\frac{3-2 a}{a+5}<0$. Njen graf seka ordinatno os nad koordinatnim izhodiščem, če velja $\frac{2 a-1}{3-a}>0$. Prva neenačba je izpolnjena, če imata s̆tevec in imenovalec ulomka $\frac{3-2 a}{a+5}$ različna predznaka, to je za $a<-5$ ali za $a>\frac{3}{2}$. Druga neenačba je izpolnjena, če imata števec in imenovalec ulomka $\frac{2 a-1}{3-a}$ enaka predznaka, to je za $\frac{1}{2}<a<3$. Obe neenačbi sta izpolnjeni, če je $\frac{3}{2}<a<3$

Tretji letnik

1. Denimo, da je poslovodja nabavil $x$ puloverjev po nabavni ceni $c$. Tedaj velja $x \cdot c=960000$ in $x \cdot 12000=960000+60 c$. Iz druge enačbe izrazimo $c=200 x-16000$ in vstavimo $\mathrm{v}$ prvo, ki jo preuredimo v kvadratno enačbo $200 x^{2}-16000 x-960000=0$, poenostavimo $\mathrm{v}$ $x^{2}-80 x-4800=0$ in razstavimo $(x-120)(x+40)=0$. Edina smiselna rešitev enačbe je $x=120$. Poslovodja je nabavil 120 puloverjev.

Izbira neznank: $x$ - št. puloverjev, $c$ - nabavna cena, $d$ - dobiček pri prodaji enega puloverja. .

Pravilno reševanje sistema enačb ......................................................................................................

Odgovor: Poslovodja je nabavil 120 puloverjev............................................................

2. Najprej iz $\log _{3}(x-y)=0$ sklepamo, da je $x-y=3^{0}=1$ oziroma $x=y+1$. Nato drugo enačbo zapišemo $3^{y+1} \cdot 2^{y}=648$ oziroma v obliki $3 \cdot 3^{y} \cdot 2^{y}=648$ in poenostavimo $\mathrm{v}$ $6^{y}=216=6^{3}$, od koder preberemo $y=3$ ter izračunamo še $x=4$.

Poenostavitev logaritemske enačbe $3^{0}=x-y \Rightarrow x=y+1 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 1+1$ točka Vstavljanje v drugo enačbo $3^{y+1} \cdot 2^{y}=648 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$

3. Enačbo lahko poenostavimo v $\frac{3}{2} \log _{x} 5-\frac{5}{4}=\left(\frac{1}{2} \log {x} 5\right)^{2}$. Če označimo $\log {x} 5=t$ in enačbo poenostavimo, dobimo $t^{2}-6 t+5=0$, ki ima rešitvi $t{1}=1$ in $t{2}=5$. Iz $\log {x} 5=1$ dobimo $x{1}=5$, iz $\log {x} 5=5$ pa $x^{5}=5$ oziroma $x{2}=\sqrt[5]{5}$.

4. Točki $B$ in $D$ sta ničli polinoma, zato lahko zapišemo $y=a(x+1)(x-5)\left(x-x_{3}\right)$. Polinom seka ordinatno os v točki $C(0,5)$, torej je $5=a \cdot 1 \cdot(-5) \cdot\left(-x_{3}\right)$ oziroma $5 a x_{3}=5$, od koder dobimo $x_{3}=\frac{1}{a}$, saj je $a \neq 0$. Končno upoštevamo, da gre polinom skozi točko $A$, pa imamo $-5=a \cdot 5 \cdot(-1) \cdot\left(4-\frac{1}{a}\right)$ oziroma $a \cdot\left(4-\frac{1}{a}\right)=1$, od koder izrazimo $a=\frac{1}{2}$. Polinom ima enačbo $y=$ $\frac{1}{2}(x+1)(x-5)(x-2)$.

Zapis: $y=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)\left(x-x_{3}\right)$

ali $y=a(x+1)(x-5)\left(x-x_{3}\right) \ldots \ldots \ldots .1$ točka

Točka $C$ - zapisana enac̆ba $a \cdot x_{3}=1 \ldots \ldots \ldots . .1$ točka

Točka $A$ - zapisana enac̆ba $1=4 a-a x_{3} \ldots \ldots .1$ točka

Rešitvi $a=\frac{1}{2}, x=2 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \ldots$ točka

Zapis polinoma: $y=\frac{1}{2}(x+1)(x-5)(x-2) \ldots .1$ točka

Skiciran graf

1 točka

5. Enačbo preoblikujemo v $y^{2}-x^{2}=73$ oziroma v $(y+x)(y-x)=73$. Število 73 je praštevilo, zato ga lahko razcepimo le na s̆tiri načine: $73 \cdot 1,1 \cdot 73,-73 \cdot(-1)$ in $-1 \cdot(-73)$. Tako pridemo do s̆tirih sistemov enačb, ki jih rešimo:

Sklepanje: $x$ in $y$ morata zadoščati enemu od štirih sistemov: ....................... 1 točka

Rešitve sistemov $(36,37),(-36,-37),(-36,37)$ in $(36,-37) \ldots \ldots \ldots . \ldots . \ldots . . . . . . . . . . . . .$.

OPOMBA: zapisani samo trije pari .......................................................................................................................

zapisan en ali dva para .........................................................................................

Četrti letnik

1. Ker se $f(-x)=\cos (-x)-\sin (-x)=\cos x+\sin x$ razlikuje od $f(x)$ in od $-f(-x)$, funkcija $f(x)$ ni niti soda niti liha.

Pišimo: $-\sqrt{2} \sin \left(x-\frac{\pi}{4}\right)=-\sqrt{2}\left(\sin x \cos \frac{\pi}{4}-\cos x \sin \frac{\pi}{4}\right)=\cos x-\sin x=f(x)$. Ker je zaloga vrednosti funkcije $g(x)=\sin \left(x-\frac{\pi}{4}\right)$ enaka $[-1,1]$, je zaloga vrednosti funkcije $f(x)$ enaka $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$.

(a) Dokaz in pravilen sklep 2 točki

(b) Uporaba adicijskega izreka, pravilen izračun in zapis funkcije $\ldots \ldots .1+1+1$ točka

2. Vzemimo zaporedni naravni s̆tevili $n$ in $n+1$. Razlika njunih kvadratov je enaka $(n+1)^{2}-$ $n^{2}=2 n+1$. Če $n$ povečamo za 1 (vzamemo naslednji zaporedni naravni števili), dobimo $((n+1)+1)^{2}-(n+1)^{2}=2(n+1)+1=2 n+3$ - razlika kvadratov dveh zaporednih naravnih števil se torej poveča za 2 . Ker to velja za katerakoli dva zaporedna para po dveh zaporednih naravnih števil, tvorijo dobljena števila aritmetično zaporedje.

Zapis zaporednih naravnih števil $n, n+1, n+2, n+3 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$ točka

Poenostavitev prve razlike:

$(n+1)^{2}-n^{2}=(n+1+n)(n+1-n)=2 n+1$

1 točka

Poenostavitev naslednjih dveh razlik:

$(n+2)^{2}-(n+1)^{2}=(n+2+n+1)(n+2-n-1)=2 n+3$

$(n+3)^{2}-(n+2)^{2}=(n+3+n+2)(n+3-n-2)=2 n+5 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \ldots . \ldots$ točka

3. Torto je pojedlo 30 ljudi. Ker je vsak v povprečju pojedel 24 dag, je trinadstropna torta tehtala $30 \cdot 24=720$ dag. Njena prostornina je bila $\frac{77 \pi \cdot 720}{10}=5544 \pi \mathrm{cm}^{3}$.

Če je višina posamezne torte enaka $v$, razmik med posamezno torto in podstavkom nad njo pa $x$, velja $v+x=11$ in $3 v+2 x=30$. Iz teh dveh enačb izračunamo $v=8 \mathrm{~cm}$.

Polmere posameznih tort označimo z $r, r-3$ in $r-6$. Tedaj je $\pi r^{2} \cdot v+\pi(r-3)^{2} \cdot v+\pi(r-6)^{2}$. $v=5544 \pi$. Enačbo lahko poenostavimo (upoštevamo, da je $v=8 \mathrm{cm}$ ) v $3 r^{2}-18 r+45=693$ oziroma $r^{2}-6 r-216=0$ in razstavimo $(r-18)(r+12)=0$. Edina smiselna rešitev enačbe je $r=18$. Polmer spodnje (največje torte) je bil $18 \mathrm{cm}$.

Masa torte: $T=n \cdot 24$ dag $=30 \cdot 24=720 \mathrm{dag}$... 1 točka Prostornina torte:

$$\begin{array}{c}{\displaystyle 10\mathrm{d}\mathrm{a}\mathrm{g}\dots \dots \dots \mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}.77\pi {\mathrm{c}\mathrm{m}}^3}\\ {\displaystyle 720\mathrm{d}\mathrm{a}\mathrm{g}\dots \dots \dots \mathrm{.}\dots {\mathrm{c}\mathrm{m}}^3}\end{array}\backslash begin\{gathered\}\; 10\; \backslash mathrm\{dag\}\; \backslash ldots\; \backslash ldots\; \backslash ldots\; .\; .\; .\; .77\; \backslash pi\; \backslash mathrm\{cm\}^\{3\}\; \backslash \backslash \; 720\; \backslash mathrm\{dag\}\; \backslash ldots\; \backslash ldots\; \backslash ldots\; .\; \backslash ldots\; \backslash mathrm\{cm\}^\{3\}\; \backslash end\{gathered\}$$

Prostornina spodnje oblate: $V_{1}=\pi r^{2} v$

Prostornina druge oblate: $V_{2}=\pi(r-3)^{2} v$

Prostornina tretje oblate: $V_{3}=\pi(r-6)^{2} v$. . . 1 točka

Skupaj:

$V=V_{1}+V_{2}+V_{3}$

$V=\pi v\left(r^{2}+(r-3)^{2}+(r-6)^{2}\right)$

$V=\pi \cdot 8 \cdot\left(3 r^{2}-18 r+45\right)$

$V=\pi \cdot 8 \cdot 3 \cdot\left(r^{2}-6 r+15\right)$

$5544 \pi=\pi \cdot 24\left(r^{2}-6 r+15\right)$

1 točka

$231=r^{2}-6 r+15$

$r^{2}-6 r-216=0$

Rešitev $(r-18)(r+12)=0 \Rightarrow r=18 \mathrm{~cm}$

.1 točka

4. Najprej zapišemo $f(x)=\sqrt{1-\cos ^{2} 2 x}=\sqrt{\sin ^{2} 2 x}=|\sin 2 x|$. Ničle funkcije so $x=\frac{k \pi}{2}, k \in$ $\mathbb{Z}$.

Upos̆tevamo: $f(x)=\sqrt{1-\cos ^{2} 2 x}=\sqrt{\sin ^{2} 2 x} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 1$ toc̆ka

Narisane ničle na grafu .................................................................................................................................

5. Najprej izpolnimo preglednici.

Šola $A$ :

Razred	Stevilo dijakov	Neopr. ure
$1 a$	30	105
$1 b$	28	80
$2 a$	26	100
$3 a$	27	85
$4 a$	26	130
$4 b$	23	110
	160	610

Šola $B$ :

Frekvenčni razred	Odstotek	Število dijakov	Povprečje razreda	Zmnožek
$0-4$	34	68	2	136
$5-9$	15	30	7	210
$10-14$	28	56	12	672
$15-19$	10	20	17	340
$20-24$	13	26	22	572
		200		1930

Povprečno s̆tevilo neopravičenih ur na dijaka na šoli $A$ je $\bar{x}=\frac{105+80+100+85+130+110}{30+28+26+27+26+23}=\frac{610}{160}=$ 3.81, na soli $B$ pa $\bar{y}=\frac{68 \cdot 2+30 \cdot 7+56 \cdot 12+20 \cdot 17+26 \cdot 22}{200}=\frac{1930}{200}=9.65$.

Zapis tabele za šolo $A$ :

.1 točka

Izračunano število dijakov za solo $B$......................................................................

Povprečje za šolo $B$ :

Odgovor:

Na šoli $A$ je povprečno število neopravičenih ur na dijaka 3,81 , na s̆oli $B$ pa 9,65 . .