Slovenia/md/sl-massc/sl-MaSSC_Podrocno_2011.md

Društvo matematikov, fizikov

in astronomov Slovenije

Jadranska ulica 19

1000 Ljubljana

Tekmovalne naloge DMFA Slovenije

Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije dovoljuje shranitev $v$ elektronski obliki, natis in uporabo gradiva $v$ tem dokumentu za lastne potrebe učenca/dijaka/študenta in za potrebe priprav na tekmovanje na šoli, ki jo učenec/dijak/študent obiskuje. Vsakršno drugačno reproduciranje ali distribuiranje gradiva $v$ tem dokumentu, vključno $s$ tiskanjem, kopiranjem ali shranitvijo v elektronski obliki je prepovedano.

Še posebej poudarjamo, da dokumenta ni dovoljeno javno objavljati na drugih spletnih straneh (razen na www.dmfa.si), dovoljeno pa je dokument hraniti na npr. spletnih učilnicah šole, če dokument ni javno dostopen.

d MFA

11. tekmovanje $\mathbf{v}$ znanju matematike
za dijake poklicnih šol
Področno tekmovanje, 30. marec 2011

Prilepi nalepko s šifro

Čas reševanja: 90 minut. V sklopu A bo pravilni odgovor ovrednoten z dvema točkama, medtem ko bomo za nepravilni odgovor pol točke odšteli. Odgovore sklopa A vpišite v levo tabelo.

A1	A2	A3	A4	A5	A6	A7	A8	A9	A10

A1 Kateri ulomek prikazuje osenčeni del slike? (A) $\frac{2}{25}$ (B) $\frac{4}{5}$ (C) $\frac{23}{25}$ (D) $\frac{46}{5}$ (E) $\frac{92}{1}$

A2 Vaditelj smučanja računa 22,50 EUR za 45 minut vadbe. To je enako kot: (A) 30 EUR za 1 uro (B) 0,40 EUR za $1 \mathrm{min}$ (C) 26 EUR za $50 \mathrm{min}$ (D) 4,50 EUR za $10 \mathrm{~min}$ (E) 45 EUR za 2 uri

A3 Slovenija ima približno 2 milijona prebivalcev. Če bi vsak dal 1 cent za dobrodelne namene, bi zbrali približno: (A) 20 EUR (B) 200 EUR (C) 2000 EUR (D) 20000 EUR (E) 200000 EUR

A4 V šestmestenem številu $\square 36230$ je prva števka zakrita. Če šestmestno število zaokrožimo na stotisočice, dobimo 100000. Katera števka je zakrita? (A) 0 (B) 1 (C) 3 (D) 4 (E) 9

A5 Ravna cev je prislonjena ob navpično steno do višine $9 \mathrm{m}$. Zgornji konec cevi zdrsne za 1 $\mathrm{m}$ navzdol, tako da je spodnji konec cevi od stene oddaljen $6 \mathrm{m}$. Kako dolga je cev? (A) $8 \mathrm{m}$ (B) $8,5 \mathrm{m}$ (C) $9 \mathrm{m}$ (D) $9,5 \mathrm{m}$ (E) $10 \mathrm{~m}$

A6 Histogram prikazuje, koliko kg mišične mase so fantje pridobili v enem šolskem letu pri rednem obiskovanju fitnesa. Koliko fantov je pridobilo vsaj $2 \mathrm{~kg}$ mišične mase? (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (E) 11

A7 Na koliko načinov je mogoče plačati račun, ki znaša 5 evrov, s kovanci po 1 evro in 2 evra? (A) 1 način (B) 2 načina (C) 3 načine (D) 4 načine (E) 5 načinov

A8 Janez želi zložiti jabolka v zabojčke tako, da bo v vsakem enako število jabolk. Koliko jabolk ima lahko Janez,

če jih lahko zloži v 3 ali v 5 zabojčkov? (A) 35 (B) 40 (C) 45 (D) 50 (E) 55

A9 Koliko km je Janezu preostalo za prehoditi, ko je prehodil $1 \mathrm{~km}$ (glej sliko)? (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4

A10 Koliko od naslednjih trditev je pravilnih? $20 %$ od $40=8$ $2^{3}=8$ $3^{2}-1^{2}=8$ $7-3 \cdot 2=8$ $2 \cdot(6-4)^{2}=8$ (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5

prehojeni km

B1 Štirje dijaki so zbirali staro železo.

“Jaz sem zbral 120 kg,"je rekel Niko.

“Jaz pa četrtino manj kot ti,“je povedal Tone.

"Zanimivo, jaz sem zbral četrtino več kot ti," je rekel Niku tretji dijak, Tine.

"Po mojem računu smo vsi štirje zbrali štirikrat več starega železa kot Niko,"je ugotovil četrti, Gregor.

"Koliko pa si zbral ti?" so prijatelji vrašali Gregorja.

"Glede na to, kar smo do sedaj povedali o količini zbranega železa, si prav lahko izračunate, koliko sem ga zbral sam," je odgovoril Gregor.

Koliko starega železa je zbral Gregor?

B2 Točke $A(-4,-2), B(2,-2)$ in $C(2,6)$ so oglišča trikotnika $A B C$.

A Trikotnik $A B C$ narišite $\mathrm{v}$ koordinatni sistem.

B Izračunajte obseg trikotnika $A B C$.

C Izračunajte ploščino trikotnika $A B C$.

D Trikotniku $A B C$ očrtajte krožnico.

B3 Unča zlata (31 g) je bila v letu 2010 vredna v povprečju 1200 USD.

A Koliko evrov je leta 2010 stala unča zlata, če je 1 EUR bil vreden 1,3 USD?

B Koliko USD bi stala kocka iz zlata z robom $2 \mathrm{dm}$, če je gostota zlata $19,32 \frac{\mathrm{g}}{\mathrm{cm}}$ ?

C Za koliko % je narasla cena zlata na svetovnem trgu od leta 2007 do leta 2010, če je bila cena zlata leta 2007 v povprečju 660 USD za unčo?

B4 Posoda, v kateri gojimo sadike, je izdelana iz lesa in pokrita s steklom (glej sliko). Debeline desk in stekla pri računanju ne upoštevamo.

A Kolikšna je površina zgornje steklene ploskve?

B Za koliko $d m^{2}$ je površina spodnjega lesenega dna manjša od ploščine steklenega pokrova?

C Koliko litrov zemlje potrebujemo, da bomo posodo napolnili do polovice njene višine?

11. tekmovanje v znanju matematike
za dijake poklicnih šol

Področno tekmovanje, 30. marec 2011

Rešitve nalog in točkovnik

Tekmovalec, ki je prišel po katerikoli pravilni metodi do rešitve (četudi točkovnik take ne predvideva), dobi vse možne točke.

Za pravilno metodo se upošteva vsak postopek, ki

• smiselno upošteva besedilo naloge,
• vodi $\mathrm{k}$ rešitvi problema,
• je matematično pravilen in popoln.

$V$ tabeli so zapisani pravilni odgovori izbirnih nalog. Vsak pravilen odgovor točkujemo z 2 točkama, nepravilen z -0.5 točke, če naloga ni rešena, 0 točk. Da bi se izognili morebitnemu negativnemu končnemu dosežku, se vsakemu tekmovalcu prizna začetnih 5 točk.

A1	A2	A3	A4	A5	A6	A7	A8	A9	A10
C	A	D	B	E	B	C	C	D	D

A1 Od skupno 100 kvadratkov je osenčenih 92, kar pomeni $\frac{92}{100}=\frac{23}{25}$.

A2 22,50 EUR za 45 min pomeni 0,50 EUR na minuto. Za $1 h=60$ min pa je znesek 60 . $0,50 \mathrm{EUR}=30 \mathrm{EUR}$.

A3 1 cent $=0,01$ EUR, zato znaša skupen znesek $2000000 \cdot 0,01$ EUR $=20000$ EUR.

A4 To velja za števko 1, saj je 136230, zaokroženo na stotisočice, enako 100000.

A5 Uporabimo Pitagorov izrek v pravokotnem trikotniku, kjer je $x$ iskana dolžina ravne cevi. Tako je $x^{2}=6^{2}+8^{2}$, od tod pa dobimo, da je $x=10 \mathrm{~m}$.

A6 Iz histograma odčitamo, da so štirje fantje svojo maso ohranili, petim fantom se je le-ta povečala za $1 \mathrm{kg}$, dvema za $2 \mathrm{kg}$ in enemu za $3 \mathrm{kg}$. Vsaj $2 \mathrm{kg}$ so tako pridobili trije fantje.

A7 Račun je mogoče plačati na tri načine:

• s petimi kovanci za 1 EUR,
• z dvema kovancema za 2 EUR in enim za 1 EUR,
• z enim kovancem za 2 EUR in treni kovanci za 1 EUR.

A8 Imamo 45 jabolk, saj je 45 edino število od danih števil, ki je deljivo s 3 in s 5.

A9 Z grafa lahko odčitamo, da Janezu potem, ko prehodi 1 km, ostane še 3 km poti.

A10 Pravilne so 4 trditve, saj velja:

• $20 %$ od $40=8$ je pravilno, ker je $0,20 \cdot 40=8$,
• $2^{3}=8$ je pravilno, ker je $2 \cdot 2 \cdot 2=8$,
• $3^{2}-1^{2}=8$ je pravilno, ker je $3^{2}-1^{2}=9-1=8$,
• $7-3 \cdot 2=8$ ni pravilno, ker je $7-3 \cdot 2=7-6=1$,
• $2 \cdot(6-4)^{2}=8$ je pravilno, ker je $2 \cdot(6-4)^{2}=2 \cdot 2^{2}=8$.

DALJŠE NALOGE

B1 Niko je zbral $120 \mathrm{~kg}$ starega železa.

Tone je zbral $120-\frac{1}{4}$ od $120=120-30=90 \mathrm{~kg}$ starega železa.

Tine je zbral $120+\frac{1}{4}$ od $120=120+30=150 \mathrm{~kg}$ starega železa.

Gregor je zbral $x=120 \mathrm{~kg}$, kar izračunamo iz enačbe $120+90+150+x=4 \cdot 120$.

B2 Točke $A(-4,-2), B(2,-2)$ in $C(2,6)$ narišemo v pravokotni koordinatni sistem in jih povežemo v pravokotni trikotnik $\triangle A B C$ s pravim kotom pri oglišču $C$.

Dolžini katet sta $|A B|=6 e$ in $|B C|=8 e$, dolžino hipotenuze $|A C|$ pa dobimo s pomočjo Pitagorovega izreka: $|A C|^{2}=|A B|^{2}+|B C|^{2}$. Torej je $|A C|^{2}=(6 e)^{2}+(8 e)^{2}$, od tod pa dobimo, da je $|A C|=10 e$. Obseg $\triangle A B C$ je $|A B|+|B C|+|A C|=6 e+8 e+10 e=24 e$. Ploščina trikotnika $\triangle A B C$ je $p_{\triangle A B C}=\frac{|A B| \cdot|B C|}{2}=\frac{6.8}{2}=24 e^{2}$. Pravokotnemu trikotniku očrtana krožnica ima središe v razpolovišču hipotenuze, polmer pa je enak polovici hipotenuze.

A Narisane in v trikotnik povezane točke. ....................................................................

Izračunan obsega trikotnika 24 e. .......................................................... 1 t

C Izračun ploščine trikotnika $24 e^{2}$. ..............................................................................

Op.: Če tekmovalec pri rezultatih nima zapisanih enot, mu od vsote doseženih točk odbijemo 1 točko.

B3 Leta 2010 je unča zlata ( $31 \mathrm{g}$ ) stala $1200: 1,3=923$ EUR. Prostornina kocke z robom $2 \mathrm{dm}$ je 8 $d m^{3}$. Ker je gostota zlata $19,32 \frac{\mathrm{g}}{\mathrm{cm}^{3}}=19,32 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{dm}^{3}}$, je masa takšne kocke $m=\rho \cdot V=19,32 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{dm}}$. $8 \mathrm{dm}^{3}=154,56 \mathrm{kg}$. Cena takšne količine zlata je $\frac{154,56 \mathrm{kg} \cdot 1200 $}{0,031 \mathrm{kg}}=5982967,74 $ \approx 5982968 $$. Razmerje med ceno zlata leta 2010 in ceno zlata leta 2007 je $\frac{1200 $}{660 $}=1,82$, kar pomeni, da je cena zlata narasla za $82 %$.

A Odgovor, npr.: Leta 2010 je unča zlata stala 923 EUR. .................................. 1 t

Odgovor, npr.: Kocka bi stala 5982968 $. ..................................................... 2 t

C Odgovor, npr.: Cena zlata je narasla za $82 %$. .......................................... 1 t

B4 Ploščina zgornjega pravokotnika (steklene ploskve) je $60 \mathrm{cm} \cdot 36 \mathrm{cm}=2160 \mathrm{cm}^{2}$. Ploščina spodnjega pravokotnika (lesenega dna) je $60 \mathrm{cm} \cdot 20 \mathrm{cm}=1200 \mathrm{cm}^{2}$. Razlika med obema ploščinama je $2160 \mathrm{cm}^{2}-1200 \mathrm{cm}^{2}=960 \mathrm{cm}^{2}=9,6 \mathrm{dm}^{2}$. Da bi izračunali, koliko litrov zemlje potrebujemo, da posodo napolnimo do polovice njene višine, moramo izračunati prostornino prizme $\mathrm{z}$ višino $v_{p}=60 \mathrm{cm}$, ki ima za osnovno ploskev trapez z osnovnicama $a=20 \mathrm{cm}$ in $c=28 \mathrm{cm}$ ter višino $v_{t}=8,5 \mathrm{cm}: V=\frac{(a+c) \cdot v_{t}}{2} \cdot v_{p}=\frac{(20+28) \cdot 8,5}{2} \cdot 60=12240 \mathrm{cm}^{3}=$ $12,24 \mathrm{dm}^{3}=12,24 l$.

A Odg., npr.: Ploščina zgornje steklene ploskve je $2160 \mathrm{~cm}^{2} . \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \ldots . \ldots . \ldots$ t

B Odgovor, npr.: Ploščina lesenega dna je manjša od ploščine steklenega pokrova za $9,6 \mathrm{dm}^{2}$. $2 \mathrm{t}$

Op.: Če rezultat ni izražen v $d m^{2}$, tekmovalcu odbijemo eno točko.

Utemeljitev odgovora z računom. ......................................................... 1 t