| # Društvo matematikov, fizikov |
|
|
| in astronomov Slovenije |
|
|
| Jadranska ulica 19 |
|
|
| 1000 Ljubljana |
|
|
| ## Tekmovalne naloge DMFA Slovenije |
|
|
| Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije dovoljuje shranitev $v$ elektronski obliki, natis in uporabo gradiva $v$ tem dokumentu za lastne potrebe učenca/dijaka/študenta in za potrebe priprav na tekmovanje na šoli, ki jo učenec/dijak/študent obiskuje. Vsakršno drugačno reproduciranje ali distribuiranje gradiva $v$ tem dokumentu, vključno $s$ tiskanjem, kopiranjem ali shranitvijo v elektronski obliki je prepovedano. |
|
|
| Še posebej poudarjamo, da dokumenta ni dovoljeno javno objavljati na drugih spletnih straneh (razen na www.dmfa.si), dovoljeno pa je dokument hraniti na npr. spletnih učilnicah šole, če dokument ni javno dostopen. |
|
|
| ## d MFA |
|
|
| ## 11. tekmovanje $\mathbf{v}$ znanju matematike <br> za dijake poklicnih šol <br> Področno tekmovanje, 30. marec 2011 |
|
|
| Prilepi nalepko s šifro |
|
|
| Čas reševanja: 90 minut. V sklopu A bo pravilni odgovor ovrednoten z dvema točkama, medtem ko bomo za nepravilni odgovor pol točke odšteli. Odgovore sklopa A vpišite v levo tabelo. |
|
|
| | A1 | A2 | A3 | A4 | A5 | A6 | A7 | A8 | A9 | A10 | |
| | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | |
|
|
|  |
|
|
| A1 Kateri ulomek prikazuje osenčeni del slike? |
| (A) $\frac{2}{25}$ |
| (B) $\frac{4}{5}$ |
| (C) $\frac{23}{25}$ |
| (D) $\frac{46}{5}$ |
| (E) $\frac{92}{1}$ |
|
|
| A2 Vaditelj smučanja računa 22,50 EUR za 45 minut vadbe. To je enako kot: |
| (A) 30 EUR za 1 uro |
| (B) 0,40 EUR za $1 \mathrm{~min}$ |
| (C) 26 EUR za $50 \mathrm{~min}$ |
| (D) 4,50 EUR za $10 \mathrm{~min}$ |
| (E) 45 EUR za 2 uri |
|
|
| A3 Slovenija ima približno 2 milijona prebivalcev. Če bi vsak dal 1 cent za dobrodelne namene, bi zbrali približno: |
| (A) 20 EUR |
| (B) 200 EUR |
| (C) 2000 EUR |
| (D) 20000 EUR |
| (E) 200000 EUR |
|
|
| A4 V šestmestenem številu $\square 36230$ je prva števka zakrita. Če šestmestno število zaokrožimo na stotisočice, dobimo 100000. Katera števka je zakrita? |
| (A) 0 |
| (B) 1 |
| (C) 3 |
| (D) 4 |
| (E) 9 |
|
|
| A5 Ravna cev je prislonjena ob navpično steno do višine $9 \mathrm{~m}$. Zgornji konec cevi zdrsne za 1 $\mathrm{m}$ navzdol, tako da je spodnji konec cevi od stene oddaljen $6 \mathrm{~m}$. Kako dolga je cev? |
| (A) $8 \mathrm{~m}$ |
| (B) $8,5 \mathrm{~m}$ |
| (C) $9 \mathrm{~m}$ |
| (D) $9,5 \mathrm{~m}$ |
| (E) $10 \mathrm{~m}$ |
|
|
| A6 Histogram prikazuje, koliko kg mišične mase so fantje pridobili v enem šolskem letu pri rednem obiskovanju fitnesa. Koliko fantov je pridobilo vsaj $2 \mathrm{~kg}$ mišične mase? |
| (A) 2 |
| (B) 3 |
| (C) 4 |
| (D) 5 |
| (E) 11 |
|
|
| A7 Na koliko načinov je mogoče plačati račun, ki znaša 5 evrov, s kovanci po 1 evro in 2 evra? |
| (A) 1 način |
| (B) 2 načina |
| (C) 3 načine |
| (D) 4 načine |
| (E) 5 načinov |
|
|
| A8 Janez želi zložiti jabolka v zabojčke tako, da bo v vsakem enako število jabolk. Koliko jabolk ima lahko Janez, |
|
|
|  |
| če jih lahko zloži v 3 ali v 5 zabojčkov? |
| (A) 35 |
| (B) 40 |
| (C) 45 |
| (D) 50 |
| (E) 55 |
|
|
| A9 Koliko km je Janezu preostalo za prehoditi, ko je prehodil $1 \mathrm{~km}$ (glej sliko)? |
| (A) 0 |
| (B) 1 |
| (C) 2 |
| (D) 3 |
| (E) 4 |
|
|
| A10 Koliko od naslednjih trditev je pravilnih? |
| $20 \%$ od $40=8$ |
| $2^{3}=8$ |
| $3^{2}-1^{2}=8$ |
| $7-3 \cdot 2=8$ |
| $2 \cdot(6-4)^{2}=8$ |
| (A) 1 |
| (B) 2 |
| (C) 3 |
| (D) 4 |
| (E) 5 |
|
|
|  |
|
|
| prehojeni km |
|
|
| B1 Štirje dijaki so zbirali staro železo. |
|
|
| “Jaz sem zbral 120 kg,"je rekel Niko. |
|
|
| “Jaz pa četrtino manj kot ti,“je povedal Tone. |
|
|
| "Zanimivo, jaz sem zbral četrtino več kot ti," je rekel Niku tretji dijak, Tine. |
|
|
| "Po mojem računu smo vsi štirje zbrali štirikrat več starega železa kot Niko,"je ugotovil četrti, Gregor. |
|
|
| "Koliko pa si zbral ti?" so prijatelji vrašali Gregorja. |
|
|
| "Glede na to, kar smo do sedaj povedali o količini zbranega železa, si prav lahko izračunate, koliko sem ga zbral sam," je odgovoril Gregor. |
|
|
| Koliko starega železa je zbral Gregor? |
|
|
| B2 Točke $A(-4,-2), B(2,-2)$ in $C(2,6)$ so oglišča trikotnika $A B C$. |
|
|
| A Trikotnik $A B C$ narišite $\mathrm{v}$ koordinatni sistem. |
|
|
| B Izračunajte obseg trikotnika $A B C$. |
|
|
| C Izračunajte ploščino trikotnika $A B C$. |
|
|
| D Trikotniku $A B C$ očrtajte krožnico. |
|
|
| B3 Unča zlata (31 g) je bila v letu 2010 vredna v povprečju 1200 USD. |
|
|
| A Koliko evrov je leta 2010 stala unča zlata, če je 1 EUR bil vreden 1,3 USD? |
|
|
| B Koliko USD bi stala kocka iz zlata z robom $2 \mathrm{dm}$, če je gostota zlata $19,32 \frac{\mathrm{g}}{\mathrm{cm}}$ ? |
|
|
| C Za koliko \% je narasla cena zlata na svetovnem trgu od leta 2007 do leta 2010, če je bila cena zlata leta 2007 v povprečju 660 USD za unčo? |
|
|
| B4 Posoda, v kateri gojimo sadike, je izdelana iz lesa in pokrita s steklom (glej sliko). Debeline desk in stekla pri računanju ne upoštevamo. |
|
|
| A Kolikšna je površina zgornje steklene ploskve? |
|
|
| B Za koliko $d m^{2}$ je površina spodnjega lesenega dna manjša od ploščine steklenega pokrova? |
|
|
|  |
|
|
| C Koliko litrov zemlje potrebujemo, da bomo posodo napolnili do polovice njene višine? |
|
|
| ## 11. tekmovanje v znanju matematike <br> za dijake poklicnih šol |
|
|
| Področno tekmovanje, 30. marec 2011 |
|
|
| ## Rešitve nalog in točkovnik |
|
|
| Tekmovalec, ki je prišel po katerikoli pravilni metodi do rešitve (četudi točkovnik take ne predvideva), dobi vse možne točke. |
|
|
| Za pravilno metodo se upošteva vsak postopek, ki |
|
|
| - smiselno upošteva besedilo naloge, |
| - vodi $\mathrm{k}$ rešitvi problema, |
| - je matematično pravilen in popoln. |
|
|
| $V$ tabeli so zapisani pravilni odgovori izbirnih nalog. Vsak pravilen odgovor točkujemo z 2 točkama, nepravilen z -0.5 točke, če naloga ni rešena, 0 točk. Da bi se izognili morebitnemu negativnemu končnemu dosežku, se vsakemu tekmovalcu prizna začetnih 5 točk. |
|
|
| | A1 | A2 | A3 | A4 | A5 | A6 | A7 | A8 | A9 | A10 | |
| | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | |
| | C | A | D | B | E | B | C | C | D | D | |
|
|
| A1 Od skupno 100 kvadratkov je osenčenih 92, kar pomeni $\frac{92}{100}=\frac{23}{25}$. |
|
|
| A2 22,50 EUR za 45 min pomeni 0,50 EUR na minuto. Za $1 h=60$ min pa je znesek 60 . $0,50 \mathrm{EUR}=30 \mathrm{EUR}$. |
|
|
| A3 1 cent $=0,01$ EUR, zato znaša skupen znesek $2000000 \cdot 0,01$ EUR $=20000$ EUR. |
|
|
| A4 To velja za števko 1, saj je 136230, zaokroženo na stotisočice, enako 100000. |
|
|
| A5 Uporabimo Pitagorov izrek v pravokotnem trikotniku, kjer je $x$ iskana dolžina ravne cevi. Tako je $x^{2}=6^{2}+8^{2}$, od tod pa dobimo, da je $x=10 \mathrm{~m}$. |
|
|
| A6 Iz histograma odčitamo, da so štirje fantje svojo maso ohranili, petim fantom se je le-ta povečala za $1 \mathrm{~kg}$, dvema za $2 \mathrm{~kg}$ in enemu za $3 \mathrm{~kg}$. Vsaj $2 \mathrm{~kg}$ so tako pridobili trije fantje. |
|
|
| A7 Račun je mogoče plačati na tri načine: |
|
|
| - s petimi kovanci za 1 EUR, |
| - z dvema kovancema za 2 EUR in enim za 1 EUR, |
| - z enim kovancem za 2 EUR in treni kovanci za 1 EUR. |
|
|
| A8 Imamo 45 jabolk, saj je 45 edino število od danih števil, ki je deljivo s 3 in s 5. |
|
|
| A9 Z grafa lahko odčitamo, da Janezu potem, ko prehodi 1 km, ostane še 3 km poti. |
|
|
| A10 Pravilne so 4 trditve, saj velja: |
|
|
| - $20 \%$ od $40=8$ je pravilno, ker je $0,20 \cdot 40=8$, |
| - $2^{3}=8$ je pravilno, ker je $2 \cdot 2 \cdot 2=8$, |
| - $3^{2}-1^{2}=8$ je pravilno, ker je $3^{2}-1^{2}=9-1=8$, |
| - $7-3 \cdot 2=8$ ni pravilno, ker je $7-3 \cdot 2=7-6=1$, |
| - $2 \cdot(6-4)^{2}=8$ je pravilno, ker je $2 \cdot(6-4)^{2}=2 \cdot 2^{2}=8$. |
|
|
|
|
| ## DALJŠE NALOGE |
|
|
| B1 Niko je zbral $120 \mathrm{~kg}$ starega železa. |
|
|
| Tone je zbral $120-\frac{1}{4}$ od $120=120-30=90 \mathrm{~kg}$ starega železa. |
|
|
| Tine je zbral $120+\frac{1}{4}$ od $120=120+30=150 \mathrm{~kg}$ starega železa. |
|
|
| Gregor je zbral $x=120 \mathrm{~kg}$, kar izračunamo iz enačbe $120+90+150+x=4 \cdot 120$. |
|
|
|  |
|
|
| B2 Točke $A(-4,-2), B(2,-2)$ in $C(2,6)$ narišemo v pravokotni koordinatni sistem in jih povežemo v pravokotni trikotnik $\triangle A B C$ s pravim kotom pri oglišču $C$. |
|
|
|  |
|
|
| Dolžini katet sta $|A B|=6 e$ in $|B C|=8 e$, dolžino hipotenuze $|A C|$ pa dobimo s pomočjo Pitagorovega izreka: $|A C|^{2}=|A B|^{2}+|B C|^{2}$. Torej je $|A C|^{2}=(6 e)^{2}+(8 e)^{2}$, od tod pa dobimo, da je $|A C|=10 e$. Obseg $\triangle A B C$ je $|A B|+|B C|+|A C|=6 e+8 e+10 e=24 e$. Ploščina trikotnika $\triangle A B C$ je $p_{\triangle A B C}=\frac{|A B| \cdot|B C|}{2}=\frac{6.8}{2}=24 e^{2}$. Pravokotnemu trikotniku očrtana krožnica ima središe v razpolovišču hipotenuze, polmer pa je enak polovici hipotenuze. |
| |
| A Narisane in v trikotnik povezane točke. .................................................................... |
| |
|  |
| |
| Izračunan obsega trikotnika 24 e. .......................................................... 1 t |
| |
| C Izračun ploščine trikotnika $24 e^{2}$. .............................................................................. |
| |
|  |
| |
| Op.: Če tekmovalec pri rezultatih nima zapisanih enot, mu od vsote doseženih točk odbijemo 1 točko. |
| |
| B3 Leta 2010 je unča zlata ( $31 \mathrm{~g}$ ) stala $1200: 1,3=923$ EUR. Prostornina kocke z robom $2 \mathrm{dm}$ je 8 $d m^{3}$. Ker je gostota zlata $19,32 \frac{\mathrm{g}}{\mathrm{cm}^{3}}=19,32 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{dm}^{3}}$, je masa takšne kocke $m=\rho \cdot V=19,32 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{dm}}$. $8 \mathrm{dm}^{3}=154,56 \mathrm{~kg}$. Cena takšne količine zlata je $\frac{154,56 \mathrm{~kg} \cdot 1200 \$}{0,031 \mathrm{~kg}}=5982967,74 \$ \approx 5982968 \$$. Razmerje med ceno zlata leta 2010 in ceno zlata leta 2007 je $\frac{1200 \$}{660 \$}=1,82$, kar pomeni, da je cena zlata narasla za $82 \%$. |
| |
| A Odgovor, npr.: Leta 2010 je unča zlata stala 923 EUR. .................................. 1 t |
| |
|  |
| Odgovor, npr.: Kocka bi stala 5982968 \$. ..................................................... 2 t |
| |
| C Odgovor, npr.: Cena zlata je narasla za $82 \%$. .......................................... 1 t |
| |
| B4 Ploščina zgornjega pravokotnika (steklene ploskve) je $60 \mathrm{~cm} \cdot 36 \mathrm{~cm}=2160 \mathrm{~cm}^{2}$. Ploščina spodnjega pravokotnika (lesenega dna) je $60 \mathrm{~cm} \cdot 20 \mathrm{~cm}=1200 \mathrm{~cm}^{2}$. Razlika med obema ploščinama je $2160 \mathrm{~cm}^{2}-1200 \mathrm{~cm}^{2}=960 \mathrm{~cm}^{2}=9,6 \mathrm{dm}^{2}$. Da bi izračunali, koliko litrov zemlje potrebujemo, da posodo napolnimo do polovice njene višine, moramo izračunati prostornino prizme $\mathrm{z}$ višino $v_{p}=60 \mathrm{~cm}$, ki ima za osnovno ploskev trapez z osnovnicama $a=20 \mathrm{~cm}$ in $c=28 \mathrm{~cm}$ ter višino $v_{t}=8,5 \mathrm{~cm}: V=\frac{(a+c) \cdot v_{t}}{2} \cdot v_{p}=\frac{(20+28) \cdot 8,5}{2} \cdot 60=12240 \mathrm{~cm}^{3}=$ $12,24 \mathrm{dm}^{3}=12,24 l$. |
| |
| A Odg., npr.: Ploščina zgornje steklene ploskve je $2160 \mathrm{~cm}^{2} . \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \ldots . \ldots . \ldots$ t |
| |
| B Odgovor, npr.: Ploščina lesenega dna je manjša od ploščine steklenega pokrova za $9,6 \mathrm{dm}^{2}$. $2 \mathrm{t}$ |
| |
| Op.: Če rezultat ni izražen v $d m^{2}$, tekmovalcu odbijemo eno točko. |
| |
|  |
| |
| Utemeljitev odgovora z računom. ......................................................... 1 t |
| |
| |
